Matrice (matematica)

In matematica, una matrice (plurale: matrici) è un rettangolo di numeri, disposti in righe e colonne. Le righe sono ciascuna linea da sinistra a destra (orizzontale) e le colonne vanno dall'alto verso il basso (verticale). La cella in alto a sinistra si trova alla riga 1, colonna 1 (vedi diagramma a destra).

Ci sono regole per sommare, sottrarre e "moltiplicare" le matrici insieme, ma le regole sono diverse da quelle dei numeri. Per esempio, A ⋅ B ⋅ B \displaystyle A \cdot B $A\cdot B$ non sempre dà lo stesso risultato di B ⋅ A \displaystyle B \cdot A}. $B\cdot A$ che è il caso della moltiplicazione dei numeri ordinari. Una matrice può avere più di 2 dimensioni, come una matrice 3D. Inoltre, una matrice può essere monodimensionale, come una singola riga o colonna.

Molte scienze naturali usano molto le matrici. In molte università, i corsi sulle matrici (di solito chiamati algebra lineare) sono tenuti molto presto, a volte anche nel primo anno di studi. Le matrici sono molto comuni anche in informatica.

Le voci specifiche di una matrice sono spesso referenziate utilizzando coppie di pedici, per i numeri in ciascuna delle righe e colonne.

Definizioni e notazioni

Le linee orizzontali in una matrice sono chiamate righe e le linee verticali sono chiamate colonne. Una matrice con m righe e n colonne è chiamata matrice m-by-n (o matrice m×n) e m e n sono chiamate le sue dimensioni.

I punti della matrice in cui i numeri sono chiamati voci. L'immissione di una matrice A che si trova nella riga numero i e nella colonna numero j è chiamata l'immissione i,j di A. Questa è scritta come A[i,j] o _ai,j.

Scriviamo A := ( a i j ) m × n {\i} m × n {\i}} $A:=(a_{ij})_{m\times n}$ per definire una matrice A m × n con ogni voce della matrice chiamata _{ai,j per} tutti 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ j ≤ n.

Esempio

La matrice

[ 1 2 3 1 2 2 7 4 9 2 2 6 1 5 ] {\fscx130\fscy130\frx40}{bmatrice}1&2&3\1&2&7\1&2&7\4&9&9&2\6&6&1&5\end{bmatrice}}}}}Stile di visualizzazione ${\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&7\\4&9&2\\6&1&5\end{bmatrix}}$

è una matrice 4×3. Questa matrice ha m=4 righe e n=3 colonne.

L'elemento A[2,3] o a2_,3 è 7.

Operazioni

Aggiunta

La somma di due matrici è la matrice, che (i,j)-esima voce è uguale alla somma delle (i,j)-esima voce di due matrici:

[ 1 3 2 2 1 0 0 0 1 2 2 ] + [ 0 0 0 5 7 5 0 2 1 1 ] = [ 1 + 0 3 + 0 2 + 0 2 + 5 1 + 7 0 + 5 0 + 5 0 + 0 1 + 2 2 + 1 2 + 1 ] = [ 1 3 7 8 5 0 3 3 3 ] {\fscx130\fscy130\frx40}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}} ${\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}$

Le due matrici hanno le stesse dimensioni. Qui A + B = B + A {\displaystyle A+B=B+A} $A+B=B+A$ è vero.

Moltiplicazione di due matrici

La moltiplicazione di due matrici è un po' più complicata:

[ a 1 a 2 a 3 a 4 ] ⋅ [ b 1 b 2 b 2 b 3 b 4 ] = [ ( a 1 ⋅ b 1 ⋅ b 1 + a 2 ⋅ b 3 ) ( a 1 ⋅ b 2 + a 2 ⋅ b 4 ) ( a 3 ⋅ b 1 + a 4 ⋅ b 3 ) ( a 3 ⋅ b 2 + a 4 ⋅ b 4 ) {\displaystyle {\begin{bmatrix}a1&a2\\a3&a4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b1&b2\\b3&

Quindi con i numeri:

[ 3 5 1 4 ] ⋅ [ 2 3 5 5 0 ] = [ ( 3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ) ( 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ 0 ) ( 1 ⋅ 2 + 4 ⋅ 5 ) ( 1 ⋅ 3 + 4 ⋅ 0 ) ] = [ 31 9 22 3 ] {\a6}}{bmatrice iniziale}3&5 \1&4 \a6}}{bmatrice iniziale}2&3\\5&0\0\fscx130\fscy130\frx40}(3\code(01\code(01\code(01\code(01\code(01\code(01\code(01\code(01\code(01\code(01\code(01\code(01\code(01\c))}(3\code(01\code(01\code(01\code(01\code(01\c)))(1\cdot 3+4\cdot 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}31&9\\22&3\\\end{bmatrix}}} ${\begin{bmatrix}3&5\\1&4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}2&3\\5&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(3\cdot 2+5\cdot 5)&(3\cdot 3+5\cdot 0)\\(1\cdot 2+4\cdot 5)&(1\cdot 3+4\cdot 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}31&9\\22&3\\\end{bmatrix}}$

due matrici possono essere moltiplicate tra loro anche se hanno dimensioni diverse, purché il numero di colonne della prima matrice sia uguale al numero di righe della seconda matrice.
il risultato della moltiplicazione, chiamato prodotto, è un'altra matrice con lo stesso numero di righe della prima matrice e lo stesso numero di colonne della seconda matrice.
la moltiplicazione delle matrici non è commutativa, il che significa in generale che A ⋅ B ≠ B ⋅ A \displaystyle A \cdot B \neq B \cdot A \cdot A $A\cdot B\neq B\cdot A$
la moltiplicazione delle matrici è associativa, il che significa che ( A ⋅ B ⋅ B ) ⋅ C = A ⋅ ( B ⋅ C ) {\a6} {\a6} {\a6}(A \a6}(A \a6}(A \a6}(B \a6}(B \a6}) $(A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)$

Matrici speciali

Ci sono alcune matrici che sono speciali.

Matrice quadrata

Una matrice quadrata ha lo stesso numero di righe delle colonne, quindi m=n.

Un esempio di matrice quadrata è

[ 5 - 2 4 0 9 1 - 7 6 8 ] {\fscx130\fscy130\frx40}{bmatrix}5&-2&4 {\0&9&1\-7&6&8\fscy130\fscy130\frx40}}}End{bmatrix}}}Più o meno. ${\begin{bmatrix}5&-2&4\\0&9&1\\-7&6&8\\\end{bmatrix}}$

Questa matrice ha 3 righe e 3 colonne: m=n=3.

Identità

Ogni serie di dimensioni quadrate di una matrice ha una controparte speciale chiamata "matrice di identità". La matrice identitaria non ha altro che zeri se non sulla diagonale principale, dove ci sono tutti gli uni. Per esempio:

{\an8}[1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] {\an8}[1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ] {\an8}[1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1] ${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}$

è una matrice di identità. C'è esattamente una matrice di identità per ogni dimensione quadrata impostata. Una matrice di identità è speciale perché quando si moltiplica una qualsiasi matrice per la matrice di identità, il risultato è sempre la matrice originale senza cambiamenti.

Matrice inversa

Una matrice inversa è una matrice che, se moltiplicata per un'altra matrice, equivale alla matrice dell'identità. Per esempio:

[ 7 8 6 6 7 ] ⋅ [ 7 - 8 - 6 7 ] ⋅ [ 7 - 8 - 6 7 7 ] = [ 1 0 0 1 ] {\fscx130\fscy130\fscy130\frx40}7&8\6&7\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}} ${\begin{bmatrix}7&8\\6&7\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}$

[ 7 - 8 - 6 7 ] {\fscx130\fscy130\frx40}}Stile di rappresentazione {\fscx130\fscy130\frx40}E' l' ${\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\\end{bmatrix}}$ inverso di [ 7 8 6 7 ] {\fscx130\fscy130\frx40}Stile di rappresentazione {fscx130\fscy130\frx40}7&8\6&7&7\fscy130\frx40}}E' l'inverso di [ 7 8 6 7 ${\begin{bmatrix}7&8\\6&7\\\end{bmatrix}}$ .

La formula per l'inverso di una matrice 2x2, [ x y z v ] è la seguente:

( 1 d e t ) [ v - y - z x ] displaystyle \frac \frac \fscx130\fscy130\fscy130\frx40}(1 d e t ) [ v - y - z x \fscy130\frx40}(1 d e t ) [ v - y - z x ] displaystyle \fscy130\fscy130\fscy130\frx40}(1 d e t ) [ v - y - z x ] $\left({\frac {1}{det}}\right){\begin{bmatrix}v&-y\\-z&x\end{bmatrix}}$

Dove il d e t {\an8} $det$ è il fattore determinante della matrice. In una matrice 2x2, la determinante è uguale a:

x v - y z {xv-yz}} ${xv-yz}$

Matrice a una colonna

Una matrice, che ha molte righe, ma solo una colonna, è chiamata vettore di colonna.

Determinanti

Il determinante prende una matrice quadrata e calcola un numero semplice, uno scalare. Per capire cosa significa questo numero, prendete ogni colonna della matrice e disegnatela come vettore. Il parallelogramma disegnato da questi vettori ha un'area, che è il determinante. Per tutte le matrici 2x2, la formula è molto semplice: det ( [ a b c d ] ) = a d - b c c {\pos(a b c d ] ) = a d - b c {\pos(a b b b d ) =ad-bc} =ad-bc $\det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}\right)=ad-bc$

Per le matrici 3x3 la formula è più complicata: det ( [ a 1 b 1 c 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ] ) = a 1 ( b 2 c 3 - c 2 b 3 ) - a 2 ( b 1 c 3 - c 1 b 3 ) + a 3 ( b 1 c 2 - c 1 b 2 ) {\an8}(a 1 b 1 c 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ] = a 1 ( b 2 c 3 - c 2 b 3 b 3 ) - a 2 ( b 1 c 3 - c 1 b 3 ) + a 3 ( b 1 c 2 - c 1 b 3 ) {\an8}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\\\end{bmatrix}}\right)=a_{1}(b_{2}c_{3}-c_{2}b_{3})-a_{2}(b_{1}c_{3}-c_{1}b_{3})+a_{3}(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})} $\det \left({\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\\\end{bmatrix}}\right)=a_{1}(b_{2}c_{3}-c_{2}b_{3})-a_{2}(b_{1}c_{3}-c_{1}b_{3})+a_{3}(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})$

Non esistono formule semplici per i determinanti delle matrici più grandi, e molti programmatori di computer studiano come far sì che i computer trovino rapidamente i determinanti di grandi dimensioni.

Proprietà dei determinanti

Ci sono tre regole che tutti i fattori determinanti seguono. Queste sono:

Il fattore determinante di una matrice di identità è 1
Se si scambiano due righe o due colonne della matrice, il determinante viene moltiplicato per -1. I matematici lo chiamano alternanza.
Se tutti i numeri di una riga o colonna vengono moltiplicati per un altro numero n, allora il determinante viene moltiplicato per n. Inoltre, se una matrice M ha una colonna v che è la somma di due matrici di colonne v 1 {\displaystyle v_{1}}} $v_{1}$ e v 2 {\displaystyle v_{2}}}. $v_{2}$ Allora il fattore determinante di M è la somma dei fattori determinanti di M con v 1 $v_{1}$ al posto di v e M con v 2 al $v_{2}$ posto di v. Queste due condizioni sono chiamate multi-linearità.

Vedi anche

Algebra lineare
Algebra lineare numerica

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Domande e risposte

D: Che cos'è una matrice?

R: Una matrice è un rettangolo di numeri, disposti in righe e colonne. Le righe sono linee da sinistra a destra (orizzontali), mentre le colonne vanno dall'alto al basso (verticali).

D: Come vengono rappresentate le matrici?

R: Le matrici sono spesso rappresentate da lettere romane maiuscole, come A, B e C.

D: Cosa succede quando si moltiplicano due matrici?

R: Il prodotto AB non dà sempre lo stesso risultato di BA, il che è diverso dalla moltiplicazione di numeri ordinari.

D: Una matrice può avere più di due dimensioni?

R: Sì, una matrice può avere più di 2 dimensioni, come una matrice 3D. Può anche essere monodimensionale, come una singola riga o colonna.

D: Dove vengono utilizzate le matrici?

R: Le matrici sono utilizzate in molte scienze naturali e in informatica, ingegneria, fisica, economia e statistica.

D: Quando le università tengono corsi sulle matrici?

R: Le università di solito insegnano i corsi sulle matrici (di solito chiamati algebra lineare) molto presto negli studi, a volte persino nel primo anno di studi.

D: È possibile sommare o sottrarre matrici tra loro?

R: Sì, esistono delle regole per sommare e sottrarre le matrici, ma queste regole differiscono da quelle dei numeri ordinari.