Determinante

Il determinante di una matrice quadrata è uno scalare (un numero) che vi dice qualcosa su come si comporta quella matrice. È possibile calcolare la determinante a partire dai numeri della matrice.

"Il fattore determinante della matrice A". $A$ " è scritto come det ( A ) {\a ) {\a6} $\det(A)$ o A | A | {\a6} $|A|$ in una formula. A volte, invece di det ( [ a b c d ] ) {\a6} {\a6} {\a6} {\a6} {\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6} $\det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right)$ $\left|{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right|$ scriviamo solo det [ a $\det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ b c d ] displaystyle \det \det \det \det \det \det \det \det \det \det \det \det \det \det \det \det \det \det \det \det \det \det \det \det \det \det \det \det \det \det \det \det \det \det \det \det \d3}.

Interpretazione

Ci sono alcuni modi per capire cosa dice il determinante sulla matrice.

Interpretazione geometrica

Una $n\times n$ matrice n × n {\displaystyle n\times n} può essere vista come la descrizione di una mappa lineare in n {\displaystyle n} dimensioni. In questo caso, il fattore determinante indica il fattore con cui questa matrice scala (cresce o si restringe) una regione di n {\displaystyle n} - spazio dimensionale.

Ad esempio, una $2\times 2$ matrice 2 × 2 {\2 {\fscx130\fscy130\frx40}Matrice 2×2 {\fscx130\fscy130\frx40}Displaystyle A $A$ vista come una mappa lineare, trasformerà un quadrato in uno spazio bidimensionale in un parallelogramma. L'area di quel parallelogramma sarà det ( A ), in stile display, $\det(A)$ grande quanto l'area del quadrato.

Allo stesso modo, una $3\times 3$ matrice B 3 × 3 {\3}displaystyle 3 volte 3} $B$ , vista come una mappa lineare, trasformerà un cubo nello spazio tridimensionale in un parallelepipedo. Il volume di quel parallelepipedo sarà det ( B ), che sarà det ( B ) volte più $\det(B)$ grande del volume del cubo.

Il determinante può essere negativo. Una mappa lineare può allungare e scalare un volume, ma può anche rifletterlo su un asse. Ogni volta che ciò accade, il segno del determinante cambia da positivo a negativo, o da negativo a positivo. Un determinante negativo significa che il volume è stato riflesso su un numero dispari di assi.

"Interpretazione del "sistema di equazioni

Si può vedere una matrice come la descrizione di un sistema di equazioni lineari. Tale sistema ha una soluzione unica non banale esattamente quando il determinante non è 0. (Non banale significa che la soluzione non è solo tutti gli zeri).

Se il determinante è zero, allora non c'è una soluzione unica non banale, o ce ne sono infinitamente tanti.

Per una $2\times 2$ matrice 2 × 2 volte 2 volte 2 [ a c b d], per una matrice 2 × 2 ${\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}$ il determinante è l'area di un parallelellogramma. (L'area è uguale a un d - b c {\displaystyle ad-bc} $ad-bc$ ).

Matrici singolari

Una matrice ha una matrice inversa esattamente quando il determinante non è 0. Per questo motivo, una matrice con un determinante non zero è detta invertibile. Se il determinante è 0, allora la matrice viene chiamata non invertibile o singolare.

Geometricamente, si può pensare ad una matrice singolare come ad un "appiattimento" del parallelepipedo in un parallelogramma, o ad un parallelogramma in una linea. Poi il volume o l'area è 0, e non c'è una mappa lineare che riporti indietro la vecchia forma.

Calcolo di un fattore determinante

Ci sono alcuni modi per calcolare un fattore determinante.

Formule per piccole matrici

Per le $2\times 2$ matrici 1 × 1 {\1} $1\times 1$ e 2 × 2 {\2 × 2 {\2} si possono ricordare le formule:

det [ a ] = a , det [ a b c d ] = a d - b c . } $\det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.$

Per 3 × 3 $3\times 3$ {\3}matrici 3 volte 3 volte 3}, la formula è:

det [ a b c d d e f g g h i ] = a e i + d h c + g b f f - g e c - a h f - d b i {\fscx130\fscy130\frx40}det{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}} ${\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}$

È possibile utilizzare la Regola di Sarrus (vedi immagine) per ricordare questa formula.

Espansione del cofattore

Per le matrici più grandi, il determinante è più difficile da calcolare. Un modo per farlo si chiama espansione del cofattore.

Diciamo che abbiamo una $n\times n$ matrice n × n {\i} di visualizzazione n volte n} di matrice A {\i} di visualizzazione A} $A$ . Per prima cosa, scegliamo una qualsiasi riga o colonna della matrice. Per ogni numero a i j, $a_{ij}$ in quella riga o colonna, calcoliamo una cosa chiamata cofattore C i j. $C_{ij}$ . Poi det ( A ) = ∑ a i j C i j {\a6}Det(A)=_sum a_{ij}C_{ij}}}. $\det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}$ .

Per calcolare un tale cofattore C i j {\an8}{ij}} $C_{ij}$ Cancelliamo la riga $i$ i e la colonna j $j$ dalla matrice A $A$ . Questo ci dà una $(n-1)\times (n-1)$ matrice più piccola ( n - 1 ) × ( n - 1 ) ( n - 1 ) {\i}displaystyle (n-1)\times (n-1)}. Noi la chiamiamo M {\a6} $M$ . Il cofattore C i j {\i j {\i}} è $C_{ij}$ quindi uguale a ( - 1 ) i + j det ( M ) {\i+j det ( M ) {\i+j}}displaystyle (-1)^{i+j}det(M)} $(-1)^{i+j}\det(M)$ .

Ecco un esempio di un'espansione del cofattore della colonna sinistra di una $3\times 3$ matrice 3 × 3 {\3} 3 volte 3}:

det [ 1 3 2 2 2 1 1 1 1 0 3 4 ] = 1 ⋅ C 11 + 2 ⋅ C 21 + 0 ⋅ C 31 = ( 1 ⋅ ( - 1 ) 1 + 1 det [ 1 1 1 3 4 ] ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) 2 + 1 det [ 3 2 3 3 4 ] ) + ( 0 ⋅ ( - 1 ) 3 + 1 det [ 3 2 1 1 1 ] ) = ( 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) ⋅ 6 ) + 0 = − 11. Stile di visualizzazione iniziato con la matrice di colore rosso 1, 3 e 2, 1 e 1, 1 e 1.=Traduzione: Kikka.Onizuka20, kilu, Kikka.Onika.Onika.Onizuka20, Kikka.Onika20, Kikka.Onika20, Kikka.Onika20, Kikka.Onika20, Kikka.Onika20, Kikka.Onika20.4^end{bmatrix}} dritto)+sinistra(colore {\i}2^^cdot (-1)^{2+1^det{bmatrix}3&2^3&4^end{bmatrix}} dritto)+sinistra(colore {\i}0^cdot (-1)^{3+1^det{bmatrix}3&2^1&1^end{bmatrix}destra)^^&=(colore 1^^1^1^1^1^1^^ +(colore 1^^1^1^1^1^1^1^2^^2^^2^1^1^1^^ 6^^1^1^1^^1^1^^1^^^1^^1^^.\Allineato. ${\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\color {red}1}&3&2\\{\color {red}2}&1&1\\{\color {red}0}&3&4\end{bmatrix}}&={\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\1&1\end{bmatrix}}\right)\\&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}\\&=-11.\end{aligned}}$

Come potete vedere qui, possiamo salvare il lavoro scegliendo una riga o una colonna con molti zeri. Se lo stile di visualizzazione di un i j a_{ij} $a_{ij}$ è 0, non abbiamo bisogno di calcolare il C i j {\i j}}. $C_{ij}$ .

La $3\times 3$ formula determinante 3 × 3 {\3} è una somma di prodotti. Questi prodotti vanno lungo diagonali che "avvolgono" fino alla parte superiore della matrice. Questo trucco è chiamato la Regola di Sarrus.

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Volume

Controllo delle autorità

BNF: cb11975737s (dati)
LCCN: sh85037299
NDL: 00562696

Domande e risposte

D: Che cos'è un determinante?

R: Il determinante è uno scalare (un numero) che indica il comportamento di una matrice quadrata.

D: Come si calcola il determinante di una matrice?

R: Il determinante della matrice può essere calcolato dai numeri della matrice.

D: Come si scrive il determinante di una matrice?

R: Il determinante di una matrice è scritto come det(A) o |A| in una formula.

D: Ci sono altri modi per scrivere il determinante di una matrice?

R: Sì, invece di det([a b c d]) e |[a b c d]|, si può semplicemente scrivere det [a b c d] e |[a b c d]|.

D: Cosa significa quando si parla di "scalare"?

R: Uno scalare è un numero o una quantità individuale che ha una magnitudine ma non una direzione associata.

D: Cosa sono le matrici quadrate?

R: Le matrici quadrate sono matrici con un numero uguale di righe e colonne, come le matrici 2x2 o 3x3.