Parallelepipedo: definizione, proprietà e formule (volume e area)

Parallelepipedo: definizione chiara, proprietà essenziali e formule pratiche per calcolare area e volume con esempi e passaggi semplici.

Autore: Leandro Alegsa

In geometria, un parallelepipedo è un solido tridimensionale le cui sei facce sono tutte parallelogrammi. È la naturale estensione tridimensionale del parallelogramma, così come il cubo è una versione speciale del quadrato e il cuboide è una versione rettangolare del rettangolo. In geometria euclidea si considerano parallelepipedi i solidi che rispettano la proprietà delle facce opposte parallele e congruenti; in contesti di geometria affine la distinzione degli angoli può essere meno rilevante, ma rimane valida la struttura basata sui parallelogrammi che compongono le facce.

Definizioni equivalenti

  • un poliedro con sei facce (esaedro), ognuna delle quali è un parallelogramma;
  • un esaedro con tre coppie di facce parallele;
  • un prisma la cui base è un parallelogramma.

Tra i parallelepipedi si riconoscono casi particolari importanti: il cuboide rettangolare (sei facce rettangolari), il cubo (sei facce quadrate) e il romboedro (sei facce romboidali)..

Proprietà elementari

  • Ha 6 facce, 12 spigoli e 8 vertici.
  • Le tre coppie di facce opposte sono parallele e congruenti; gli spigoli opposti sono paralleli e della stessa lunghezza.
  • In ogni faccia (parallelogramma) le diagonali si bisecano reciprocamente; analogamente, le quattro diagonali spaziali (dette diagonali del parallelepipedo) si incontrano in un punto comune che è il loro punto medio (centro del parallelepipedo).
  • Il parallelepipedo è un poliedro convesso che soddisfa la formula di Eulero: V − E + F = 8 − 12 + 6 = 2.
  • Se i tre spigoli che incontrano uno stesso vertice sono rappresentati dai vettori u, v, w, allora molti parametri geometrici (volume, aree delle facce, lunghezze delle diagonali) si esprimono in termini vettoriali.

Formule: volume e area

Volume

Se i tre vettori che generano il parallelepipedo a partire da un vertice sono u, v e w, il volume V è dato dal valore assoluto del prodotto misto (determinante):

V = |u · (v × w)|

Questo corrisponde al valore assoluto del determinante della matrice le cui colonne (o righe) sono le componenti di u, v, w. Il segno del prodotto misto determina l'orientazione (positivo o negativo) ma il volume è sempre positivo.

Per il parallelepipedo rettangolare (cuboide) con lunghezze dei lati a, b, c ortogonali tra loro:

V = a · b · c

Area totale (superficie)

Indicando con A1, A2, A3 le aree delle tre facce adiacenti a un vertice (cioè le aree dei parallelogrammi generati dalle coppie (u,v), (v,w), (w,u)), l'area totale S è:

S = 2 (A1 + A2 + A3)

Espressa con prodotti vettoriali, dove |u × v| è l'area del parallelogramma formato da u e v:

S = 2 (|u × v| + |v × w| + |w × u|)

Per il cuboide rettangolare con lati a, b, c:

S = 2 (ab + bc + ca)

Lunghezza della diagonale spaziale

La diagonale spaziale che va da un vertice al vertice opposto è rappresentata dal vettore u + v + w. La sua lunghezza è quindi:

|u + v + w| = sqrt(|u|^2 + |v|^2 + |w|^2 + 2(u·v + u·w + v·w)).

Nel caso rettangolare ortogonale: d = sqrt(a^2 + b^2 + c^2).

Come calcolare le aree delle facce

  • Area di un parallelogramma con lati di lunghezza p e q e angolo θ fra di essi: A = p·q·sin θ.
  • Equivalente in notazione vettoriale: A = |p_vector × q_vector|.
  • Per ogni coppia di vettori generatrici (u,v), (v,w), (w,u) si ottengono le tre aree delle facce adiacenti al vertice.

Proprietà aggiuntive e osservazioni

  • Le diagonali dei parallelogrammi facciali si intersecano in due punti (si bisecano), mentre le quattro diagonali interne si incontrano nel punto medio comune: questo punto è il centro di simmetria del parallelepipedo (centro rispetto all'operazione di inversione centrata nello stesso).
  • Il parallelepipedo è un esempio di solido centro-simmetrico: per ogni punto del solido esiste il punto simmetrico rispetto al centro che appartiene al solido.
  • Un parallelepipedo può essere descritto in coordinate: fissando un vertice come origine e i tre vettori u, v, w come spigoli incidenti, ogni punto interno ha coordinate parametriche x = αu + βv + γw con 0 ≤ α,β,γ ≤ 1.
  • Le trasformazioni affini inviano parallelepipedi in parallelepipedi: dunque molti risultati si conservano sotto trasformazioni lineari invertibili (ad esempio il rapporto tra aree rimane determinato dalla matrice della trasformazione).

Casi particolari

  • Cubo: tutti gli spigoli hanno pari lunghezza e gli angoli sono retti; tutte le facce sono quadrati.
  • Cuboide (rettangolare): facce rettangolari; gli spigoli mutualmente ortogonali formano un sistema di lunghezze a, b, c.
  • Romboedro: tutte le facce sono rombi (caso in cui i quattro spigoli incidenti a ogni vertice hanno la stessa lunghezza, ma gli angoli non sono necessariamente retti) — vedi romboedro.

Esempio numerico rapido

Se i tre vettori generatrici in coordinate cartesiane sono u = (1,0,0), v = (0,2,0), w = (0,0,3) (parallelepipedo rettangolare con lati 1, 2, 3):

  • Volume V = 1·2·3 = 6.
  • Area totale S = 2(1·2 + 2·3 + 3·1) = 2(2 + 6 + 3) = 22.
  • Diagonale spaziale d = sqrt(1^2 + 2^2 + 3^2) = sqrt(14).

Questi strumenti (prodotto misto, prodotto vettoriale, formule elementari) permettono di trattare sia i casi ortogonali sia i parallelepipedi obliqui con la stessa eleganza. Per approfondimenti sulle singole proprietà e dimostrazioni formali, si possono consultare i testi di geometria analitica e solida.

Proprietà

Una qualsiasi delle tre coppie di facce parallele può essere vista come i piani di base del prisma. Un parallelepipedo ha tre serie di quattro spigoli paralleli; gli spigoli all'interno di ogni serie sono di uguale lunghezza.

I parallelepipedi risultano dalle trasformazioni lineari di un cubo (per i casi non degenerati: le trasformazioni lineari biiettive).

Poiché ogni faccia ha una simmetria puntiforme, un parallelepipedo è uno zonoedro. Anche l'intero parallelepipedo ha simmetria puntiforme Ci (vedi anche triclino). Ogni faccia è, vista dall'esterno, l'immagine speculare della faccia opposta. Le facce sono in generale chirali, ma il parallelepipedo non lo è.

Una tassellatura che riempie lo spazio è possibile con copie congruenti di qualsiasi parallelepipedo.

Volume

Il volume di un parallelepipedo è il prodotto dell'area della sua base A e della sua altezza h. La base è una delle sei facce del parallelepipedo. L'altezza è la distanza perpendicolare tra la base e la faccia opposta.

Un metodo alternativo definisce i vettori a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) e c = (c1, c2, c3) per rappresentare tre bordi che si incontrano in un vertice. Il volume del parallelepipedo è quindi uguale al valore assoluto del triplo prodotto scalare a - (b × c):

V = | a ⋅ ( b × c ) | = | b ⋅ ( c × a ) | = | c ⋅ ( a × b ) | {\displaystyle V=\left|mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\destra|=sinistra|mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \tempi \mathbf {a} )\destra|=sinistra \mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \tempi \mathbf {b} )\destra|} {\displaystyle V=\left|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right|=\left|\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\right|=\left|\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\right|}

Questo è vero perché, se scegliamo b e c per rappresentare i bordi della base, l'area della base è, per definizione del prodotto incrociato (vedi significato geometrico del prodotto incrociato),

A = | b | c | sin θ = | b × c | , {displaystyle A=|a sinistra|mathbf {b} dx \sinistra \mathbf \c}  volte \mathbf {mathbf {c} Destra.} {\displaystyle A=\left|\mathbf {b} \right|\left|\mathbf {c} \right|\sin \theta =\left|\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right|,}

dove θ è l'angolo tra b e c, e l'altezza è

h = | a | cos α , {displaystyle h== a sinistra|mathbf {a} a destra|cos \alpha ,} {\displaystyle h=\left|\mathbf {a} \right|\cos \alpha ,}

dove α è l'angolo interno tra a e h.

Dalla figura, possiamo dedurre che la grandezza di α è limitata a 0° ≤ α < 90°. Al contrario, il vettore b × c può formare con a un angolo interno β più grande di 90° (0° ≤ β ≤ 180°). Cioè, poiché b × c è parallelo ad h, il valore di β è o β = α o β = 180° - α. Quindi

cos α = ± cos β = | cos β | , {\displaystyle \cos \alpha =\pm \cos \beta =\sinistra|cos \beta \destra|,} {\displaystyle \cos \alpha =\pm \cos \beta =\left|\cos \beta \right|,}

e

h = | a | cos β | . h = a = cos'è il coseno di beta. } {\displaystyle h=\left|\mathbf {a} \right|\left|\cos \beta \right|.}

Concludiamo che

V = A h = | a | b × c | | cos β | , {displaystyle V=Ah= a sinistra|mathbf {a} a destra|a sinistra|mathbf {b} \tempi \mathbf {mathbf {c} \destra \sinistra \cos \beta \destra,\destra \destra \destra \destra \destra \destra \destra} {\displaystyle V=Ah=\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right|\left|\cos \beta \right|,}

che è, per definizione del prodotto scalare (o punto), equivalente al valore assoluto di a - (b × c), Q.E.D.

Quest'ultima espressione è anche equivalente al valore assoluto del determinante di una matrice tridimensionale costruita usando a, b e c come righe (o colonne):

V = | det [ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ] | . {\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|. } {\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|.}

Questo si trova usando la Regola di Cramer su tre matrici bidimensionali ridotte trovate dall'originale.

Se a, b e c sono le lunghezze dei bordi del parallelepipedo e α, β e γ sono gli angoli interni tra i bordi, il volume è

V = a b c 1 + 2 cos ( α ) cos ( β ) cos ( γ ) - cos 2 ( α ) - cos 2 ( β ) - cos 2 ( γ ) . V=abc{sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )}. } {\displaystyle V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\,}}.}

Tetraedro corrispondente

Il volume di qualsiasi tetraedro che condivide tre spigoli convergenti di un parallelepipedo ha un volume pari a un sesto del volume di quel parallelepipedo (vedi dimostrazione).

Vettori che definiscono un parallelepipedo.Zoom
Vettori che definiscono un parallelepipedo.

Casi speciali

Per i parallelepipedi con un piano di simmetria ci sono due casi:

  • ha quattro facce rettangolari
  • ha due facce rombiche, mentre delle altre facce, due adiacenti sono uguali e le altre due anche (le due coppie sono l'una l'immagine speculare dell'altra).

Vedi anche monoclino.

Un cuboide rettangolare, chiamato anche parallelepipedo rettangolare o talvolta semplicemente cuboide, è un parallelepipedo di cui tutte le facce sono rettangolari; un cubo è un cuboide con facce quadrate.

Un romboedro è un parallelepipedo con tutte le facce rombiche; un trapezio trigonale è un romboedro con facce rombiche congruenti.

Parallelepipedo rettangolareZoom
Parallelepipedo rettangolare

Parallelepipedo perfetto

Un parallelepipedo perfetto è un parallelepipedo con bordi di lunghezza intera, diagonali di faccia e diagonali di spazio. Nel 2009, decine di parallelepipedi perfetti hanno dimostrato di esistere, rispondendo a una domanda aperta di Richard Guy. Un esempio ha bordi 271, 106 e 103, diagonali minori 101, 266 e 255, diagonali maggiori 183, 312 e 323 e diagonali spaziali 374, 300, 278 e 272.

Sono noti alcuni parallelopipedi perfetti con due facce rettangolari. Ma non si sa se ne esistono con tutte le facce rettangolari; un tale caso sarebbe chiamato cuboide perfetto.

Parallelotopo

Coxeter chiamò la generalizzazione di un parallelepipedo in dimensioni superiori un parallelotopo.

In particolare nello spazio n-dimensionale si chiama parallelotopo n-dimensionale, o semplicemente n-parallelotopo. Così un parallelogramma è un parallelotopo 2 e un parallelepipedo è un parallelotopo 3.

Più in generale un parallelotopo, o parallelotopo di voronoi, ha facce opposte parallele e congruenti. Così un 2parallelotopo è un parallelogon che può anche includere certi esagoni, e un 3parallelotopo è un paralleloedro, che include 5 tipi di poliedri.

Le diagonali di un n-parallelotopo si intersecano in un punto e sono bisecate da questo punto. L'inversione in questo punto lascia l'n-parallelotopo invariato. Vedi anche punti fissi dei gruppi di isometrie nello spazio euclideo.

I bordi che si irradiano da un vertice di un k-parallelotopo formano un k-frame ( v 1 , ... , v n ) {\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})}{\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})} dello spazio vettoriale, e il parallelotopo può essere recuperato da questi vettori, prendendo combinazioni lineari dei vettori, con pesi tra 0 e 1.

L'n-volume di un n-parallelotopo incorporato in R m {displaystyle \mathbb {R} ^{m}} {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}dove m ≥ n {displaystyle m\geq n}{\displaystyle m\geq n} può essere calcolato per mezzo del determinante di Gram. In alternativa, il volume è la norma del prodotto esterno dei vettori:

V = ‖ v 1 ∧ ⋯ ∧ v n ‖ . V = v 1 ∧ ⋯ ∧ v n ↪Sm_22o_2016↩ . } {\displaystyle V=\left\|v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}\right\|.}

Se m = n, questo equivale al valore assoluto del determinante degli n vettori.

Un'altra formula per calcolare il volume di un n-parallelotopo P in R n {displaystyle \mathbb {R} ^{n}} {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, i cui n + 1 vertici sono V 0 , V 1 , ... , V n {displaystyle V_{0},V_{1},\ldots ,V_{n}} {\displaystyle V_{0},V_{1},\ldots ,V_{n}}è

V o l ( P ) = | d e t ( [ V 0 1 ] T , [ V 1 1 ] T , ... , [ V n 1 ] T ) | , {\an8}(P)=|detetenuto ([V_{0}]1]^{\an8}},[V_{1}]1]^{\an8},\ldots ,[V_{n}]1]^{\an8})|,{\an8} {\displaystyle {\rm {Vol}}(P)=|{\rm {det}}\ ([V_{0}\ 1]^{\rm {T}},[V_{1}\ 1]^{\rm {T}},\ldots ,[V_{n}\ 1]^{\rm {T}})|,}

dove [ V i 1 ] {displaystyle [V_{i}} 1]}{\displaystyle [V_{i}\ 1]} è il vettore riga formato dalla concatenazione di V i {displaystyle V_{i}}{\displaystyle V_{i}} e 1. Infatti, il determinante è invariato se [ V 0 1 ] {displaystyle [V_{0} 1]} {\displaystyle [V_{0}\ 1]}viene sottratto da [ V i 1 ] {displaystyle [V_{i} 1]} {\displaystyle [V_{i}\ 1]}(i > 0), e mettendo [ V 0 1 ] {displaystyle [V_{0} 1]} nell'{\displaystyle [V_{0}\ 1]}ultima posizione cambia solo il suo segno.

Allo stesso modo, il volume di qualsiasi n-simplex che condivide n spigoli convergenti di un parallelotopo ha un volume uguale a uno 1/n! del volume di questo parallelotopo.

Lessicografia

La parola appare come parallelipedon nella traduzione di Sir Henry Billingsley degli Elementi di Euclide, datata 1570. Nell'edizione del 1644 del suo Cursus mathematicus, Pierre Hérigone usò l'ortografia parallelepipedo. L'Oxford English Dictionary cita l'attuale parallelepipedo come apparso per la prima volta nella Chorea gigantum di Walter Charleton (1663).

Il dizionario di Charles Hutton (1795) mostra parallelopiped e parallelopipedon, mostrando l'influenza della forma combinatoria parallelo-, come se il secondo elemento fosse pipedon piuttosto che epipedon. Noah Webster (1806) include l'ortografia parallelopiped. L'edizione del 1989 dell'Oxford English Dictionary descrive parallelopiped (e parallelipiped) esplicitamente come forme scorrette, ma queste sono elencate senza commento nell'edizione del 2004, e sono date solo pronunce con l'accento sulla quinta sillaba pi (/paɪ/).

Un cambiamento dalla pronuncia tradizionale ha nascosto la diversa partizione suggerita dalle radici greche, con epi- ("su") e pedon ("terra") che si combinano per dare epiped, un "piano" piatto. Così le facce di un parallelepipedo sono planari, e le facce opposte sono parallele.

Domande e risposte

D: Che cos'è un parallelepipedo?


R: Un parallelepipedo è una figura tridimensionale formata da sei parallelogrammi.

D: Quale altro termine viene talvolta utilizzato per indicare un parallelepipedo?


R: Anche il termine "romboide" viene talvolta utilizzato con lo stesso significato di "parallelepipedo".

D: Qual è il rapporto tra un parallelepipedo e un parallelogramma?


R: Un parallelepipedo si relaziona con un parallelogramma nello stesso modo in cui un cubo si relaziona con un quadrato o un cuboide con un rettangolo.

D: La definizione di parallelepipedo nella geometria euclidea include tutti e quattro i concetti correlati?


R: Sì, nella geometria euclidea la definizione di parallelepipedo comprende tutti e quattro i concetti correlati: parallelepipedo, parallelogramma, cubo e quadrato.

D: Qual è il contesto della geometria affine?


R: Il contesto della geometria affine è quello in cui gli angoli non sono differenziati.

D: Nel contesto della geometria affine, quali forme sono incluse nella definizione di parallelepipedo?


R: Nella geometria affine, la definizione di parallelepipedo ammette solo parallelogrammi e parallelepipedi.

D: Quali sono tre definizioni equivalenti di parallelepipedo?


R: Tre definizioni equivalenti di parallelepipedo sono: un poliedro con sei facce, ciascuna delle quali è un parallelogramma; un esaedro con tre coppie di facce parallele; e un prisma la cui base è un parallelogramma.


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