Parallelepipedo: definizione, proprietà e formule (volume e area)

Una qualsiasi delle tre coppie di facce parallele può essere vista come i piani di base del prisma. Un parallelepipedo ha tre serie di quattro spigoli paralleli; gli spigoli all'interno di ogni serie sono di uguale lunghezza.

I parallelepipedi risultano dalle trasformazioni lineari di un cubo (per i casi non degenerati: le trasformazioni lineari biiettive).

Poiché ogni faccia ha una simmetria puntiforme, un parallelepipedo è uno zonoedro. Anche l'intero parallelepipedo ha simmetria puntiforme _Ci (vedi anche triclino). Ogni faccia è, vista dall'esterno, l'immagine speculare della faccia opposta. Le facce sono in generale chirali, ma il parallelepipedo non lo è.

Una tassellatura che riempie lo spazio è possibile con copie congruenti di qualsiasi parallelepipedo.

Il volume di un parallelepipedo è il prodotto dell'area della sua base A e della sua altezza h. La base è una delle sei facce del parallelepipedo. L'altezza è la distanza perpendicolare tra la base e la faccia opposta.

Un metodo alternativo definisce i vettori a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) e c = (c1, c2, c3) per rappresentare tre bordi che si incontrano in un vertice. Il volume del parallelepipedo è quindi uguale al valore assoluto del triplo prodotto scalare a - (b × c):

V = | a ⋅ ( b × c ) | = | b ⋅ ( c × a ) | = | c ⋅ ( a × b ) | {\displaystyle V=\left|mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\destra|=sinistra|mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \tempi \mathbf {a} )\destra|=sinistra \mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \tempi \mathbf {b} )\destra|}

Questo è vero perché, se scegliamo b e c per rappresentare i bordi della base, l'area della base è, per definizione del prodotto incrociato (vedi significato geometrico del prodotto incrociato),

A = | b | c | sin θ = | b × c | , {displaystyle A=|a sinistra|mathbf {b} dx \sinistra \mathbf \c}  volte \mathbf {mathbf {c} Destra.}

dove θ è l'angolo tra b e c, e l'altezza è

h = | a | cos α , {displaystyle h== a sinistra|mathbf {a} a destra|cos \alpha ,}

dove α è l'angolo interno tra a e h.

Dalla figura, possiamo dedurre che la grandezza di α è limitata a 0° ≤ α < 90°. Al contrario, il vettore b × c può formare con a un angolo interno β più grande di 90° (0° ≤ β ≤ 180°). Cioè, poiché b × c è parallelo ad h, il valore di β è o β = α o β = 180° - α. Quindi

cos α = ± cos β = | cos β | , {\displaystyle \cos \alpha =\pm \cos \beta =\sinistra|cos \beta \destra|,}

e

h = | a | cos β | . h = a = cos'è il coseno di beta. }

Concludiamo che

V = A h = | a | b × c | | cos β | , {displaystyle V=Ah= a sinistra|mathbf {a} a destra|a sinistra|mathbf {b} \tempi \mathbf {mathbf {c} \destra \sinistra \cos \beta \destra,\destra \destra \destra \destra \destra \destra \destra}

che è, per definizione del prodotto scalare (o punto), equivalente al valore assoluto di a - (b × c), Q.E.D.

Quest'ultima espressione è anche equivalente al valore assoluto del determinante di una matrice tridimensionale costruita usando a, b e c come righe (o colonne):

V = | det [ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ] | . {\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|. }

Questo si trova usando la Regola di Cramer su tre matrici bidimensionali ridotte trovate dall'originale.

Se a, b e c sono le lunghezze dei bordi del parallelepipedo e α, β e γ sono gli angoli interni tra i bordi, il volume è

V = a b c 1 + 2 cos ( α ) cos ( β ) cos ( γ ) - cos 2 ( α ) - cos 2 ( β ) - cos 2 ( γ ) . V=abc{sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )}. }

Tetraedro corrispondente

Il volume di qualsiasi tetraedro che condivide tre spigoli convergenti di un parallelepipedo ha un volume pari a un sesto del volume di quel parallelepipedo (vedi dimostrazione).

Per i parallelepipedi con un piano di simmetria ci sono due casi:

• ha quattro facce rettangolari
• ha due facce rombiche, mentre delle altre facce, due adiacenti sono uguali e le altre due anche (le due coppie sono l'una l'immagine speculare dell'altra).

Vedi anche monoclino.

Un cuboide rettangolare, chiamato anche parallelepipedo rettangolare o talvolta semplicemente cuboide, è un parallelepipedo di cui tutte le facce sono rettangolari; un cubo è un cuboide con facce quadrate.

Un romboedro è un parallelepipedo con tutte le facce rombiche; un trapezio trigonale è un romboedro con facce rombiche congruenti.

Un parallelepipedo perfetto è un parallelepipedo con bordi di lunghezza intera, diagonali di faccia e diagonali di spazio. Nel 2009, decine di parallelepipedi perfetti hanno dimostrato di esistere, rispondendo a una domanda aperta di Richard Guy. Un esempio ha bordi 271, 106 e 103, diagonali minori 101, 266 e 255, diagonali maggiori 183, 312 e 323 e diagonali spaziali 374, 300, 278 e 272.

Sono noti alcuni parallelopipedi perfetti con due facce rettangolari. Ma non si sa se ne esistono con tutte le facce rettangolari; un tale caso sarebbe chiamato cuboide perfetto.

Coxeter chiamò la generalizzazione di un parallelepipedo in dimensioni superiori un parallelotopo.

In particolare nello spazio n-dimensionale si chiama parallelotopo n-dimensionale, o semplicemente n-parallelotopo. Così un parallelogramma è un parallelotopo 2 e un parallelepipedo è un parallelotopo 3.

Più in generale un parallelotopo, o parallelotopo di voronoi, ha facce opposte parallele e congruenti. Così un 2parallelotopo è un parallelogon che può anche includere certi esagoni, e un 3parallelotopo è un paralleloedro, che include 5 tipi di poliedri.

Le diagonali di un n-parallelotopo si intersecano in un punto e sono bisecate da questo punto. L'inversione in questo punto lascia l'n-parallelotopo invariato. Vedi anche punti fissi dei gruppi di isometrie nello spazio euclideo.

I bordi che si irradiano da un vertice di un k-parallelotopo formano un k-frame ( v 1 , ... , v n ) {\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})} dello spazio vettoriale, e il parallelotopo può essere recuperato da questi vettori, prendendo combinazioni lineari dei vettori, con pesi tra 0 e 1.

L'n-volume di un n-parallelotopo incorporato in R m {displaystyle \mathbb {R} ^{m}} dove m ≥ n {displaystyle m\geq n} può essere calcolato per mezzo del determinante di Gram. In alternativa, il volume è la norma del prodotto esterno dei vettori:

V = ‖ v 1 ∧ ⋯ ∧ v n ‖ . V = v 1 ∧ ⋯ ∧ v n ↪Sm_22o_2016↩ . }

Se m = n, questo equivale al valore assoluto del determinante degli n vettori.

Un'altra formula per calcolare il volume di un n-parallelotopo P in R n {displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , i cui n + 1 vertici sono V 0 , V 1 , ... , V n {displaystyle V_{0},V_{1},\ldots ,V_{n}} è

V o l ( P ) = | d e t ( [ V 0 1 ] T , [ V 1 1 ] T , ... , [ V n 1 ] T ) | , {\an8}(P)=|detetenuto ([V_{0}]1]^{\an8}},[V_{1}]1]^{\an8},\ldots ,[V_{n}]1]^{\an8})|,{\an8}

dove [ V i 1 ] {displaystyle [V_{i}} 1]} è il vettore riga formato dalla concatenazione di V i {displaystyle V_{i}} e 1. Infatti, il determinante è invariato se [ V 0 1 ] {displaystyle [V_{0} 1]} viene sottratto da [ V i 1 ] {displaystyle [V_{i} 1]} (i > 0), e mettendo [ V 0 1 ] {displaystyle [V_{0} 1]} nell'ultima posizione cambia solo il suo segno.

Allo stesso modo, il volume di qualsiasi n-simplex che condivide n spigoli convergenti di un parallelotopo ha un volume uguale a uno 1/n! del volume di questo parallelotopo.

La parola appare come parallelipedon nella traduzione di Sir Henry Billingsley degli Elementi di Euclide, datata 1570. Nell'edizione del 1644 del suo Cursus mathematicus, Pierre Hérigone usò l'ortografia parallelepipedo. L'Oxford English Dictionary cita l'attuale parallelepipedo come apparso per la prima volta nella Chorea gigantum di Walter Charleton (1663).

Il dizionario di Charles Hutton (1795) mostra parallelopiped e parallelopipedon, mostrando l'influenza della forma combinatoria parallelo-, come se il secondo elemento fosse pipedon piuttosto che epipedon. Noah Webster (1806) include l'ortografia parallelopiped. L'edizione del 1989 dell'Oxford English Dictionary descrive parallelopiped (e parallelipiped) esplicitamente come forme scorrette, ma queste sono elencate senza commento nell'edizione del 2004, e sono date solo pronunce con l'accento sulla quinta sillaba pi (/paɪ/).

Un cambiamento dalla pronuncia tradizionale ha nascosto la diversa partizione suggerita dalle radici greche, con epi- ("su") e pedon ("terra") che si combinano per dare epiped, un "piano" piatto. Così le facce di un parallelepipedo sono planari, e le facce opposte sono parallele.