Funzione esponenziale

Proprietà

Poiché le funzioni esponenziali usano l'esponenziazione, seguono le stesse regole. Così,

exp ( x + y ) = exp ( x ) exp ( y ) = e x + y {\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)=e^{x+y} . Questo segue la regola che x a ⋅ x b = x a + b {displaystyle x^{a}cdot x^{b}=x^{a+b} .

Il logaritmo naturale è l'operazione inversa della funzione esponenziale.

ln ( x ) = log e ( x ) = log ( x ) log ( e ) {\displaystyle \ln(x)=\log _{e}(x)={frac {\log(x)}{\log(e)}}

La funzione esponenziale soddisfa una proprietà interessante e importante nel calcolo differenziale,

d d x e x = e x {displaystyle {frac {mathrm {d} e ^{x}=e^{x}} ,

Questo significa che la pendenza della funzione esponenziale è la funzione esponenziale stessa, e di conseguenza questo significa che ha una pendenza di 1 a x = 0 {displaystyle x=0} . Queste proprietà sono la ragione per cui è una funzione importante in matematica.

Applicazioni

La funzione esponenziale è tra le funzioni matematiche più utili. È usata per rappresentare la crescita esponenziale, che ha usi in quasi tutte le materie scientifiche ed è anche prominente nella finanza. Si verifica anche il decadimento esponenziale, per esempio il decadimento radioattivo e l'assorbimento della luce.

Un esempio di funzione esponenziale nella vita reale sarebbe l'interesse in una banca. Se una persona deposita 100 sterline in un conto che riceve il 3% di interesse al mese, allora il saldo di ogni mese sarebbe (supponendo che il denaro non venga toccato):

Mese	Equilibrio	Mese	Equilibrio
Gennaio	£100.00	Luglio	£119.41
Febbraio	£103.00	Agosto	£122.99
Marzo	£106.09	Settembre	£126.68
Aprile	£109.27	Ottobre	£130.48
Maggio	£112.55	Novembre	£134.39
Giugno	£115.93	Dicembre	£138.42

Notate come il denaro extra proveniente dagli interessi aumenta ogni mese. Maggiore è il saldo originale, maggiore sarà l'interesse che la persona otterrà.

Due esempi matematici di funzioni esponenziali sono mostrati qui sotto.

Relazione con la costante matematica e

Anche se la base ( a {displaystyle a} ) può essere qualsiasi numero più grande di zero, per esempio, 10 o 1/2, spesso è un numero speciale chiamato e. Il numero e non può essere scritto esattamente, ma è quasi uguale a 2,71828.

Il numero e è importante per ogni funzione esponenziale. Per esempio, una banca paga ogni giorno un interesse dello 0,01%. Una persona prende i soldi dell'interesse e li mette in una scatola. Dopo 10.000 giorni (circa 30 anni), ha 2 volte tanto il denaro con cui ha iniziato. Un'altra persona prende i suoi soldi degli interessi e li rimette in banca. Poiché la banca ora gli paga l'interesse sul suo interesse, la quantità di denaro è una funzione esponenziale. Dopo 10.000 giorni, non ha 2 volte il denaro con cui ha iniziato, ma ha 2,718145 volte il denaro con cui ha iniziato. Questo numero è molto vicino al numero e. Se la banca paga gli interessi più spesso, quindi l'importo pagato ogni volta è inferiore, allora il numero sarà più vicino al numero e.

Una persona può anche guardare l'immagine per capire perché il numero e è importante per le funzioni esponenziali. L'immagine ha tre curve diverse. La curva con i punti neri è una funzione esponenziale con una base un po' più piccola di e. La curva con le linee nere corte è una funzione esponenziale con una base un po' più grande di e. La curva blu è una funzione esponenziale con una base esattamente uguale a e. La linea rossa è una tangente alla curva blu. Tocca la curva blu in un punto senza attraversarla. Una persona può vedere che la curva rossa attraversa l'asse x, la linea che va da sinistra a destra, a -1. Questo è vero solo per la curva blu. Questa è la ragione per cui la funzione esponenziale con base e è speciale.

e è l'unico numero a, tale che il valore della derivata della funzione esponenziale f (x) = ax (curva blu) nel punto x = 0 sia esattamente 1. Per confronto, sono mostrate le funzioni 2x (curva tratteggiata) e 4x (curva tratteggiata), che non sono tangenti alla linea di pendenza 1 (rossa).