Calcolo differenziale

Il calcolo differenziale, un ramo del calcolo, è il processo di trovare il tasso di cambiamento di una variabile rispetto ad un'altra variabile, usando funzioni. È un modo per scoprire come una forma cambia da un punto all'altro, senza bisogno di dividere la forma in un numero infinito di pezzi. Il calcolo differenziale è l'opposto del calcolo integrale. Fu sviluppato negli anni 1670 e 1680 da Sir Isaac Newton e Gottfried Leibniz.

Sfondo

A differenza di un numero come 5 o 200, una variabile può cambiare il suo valore. Per esempio, la distanza e il tempo sono variabili. In una gara di corsa olimpica, man mano che una persona corre, la sua distanza dalla linea di partenza aumenta. Nel frattempo, un cronometro o un orologio misura il tempo che sale. Possiamo misurare la velocità media del corridore se dividiamo la distanza percorsa per il tempo impiegato. Ma questo non dice a quale velocità la persona stava correndo esattamente a 1,5 secondi nella corsa. Se avessimo la distanza a 1 secondo e la distanza a 2 secondi, avremmo comunque solo una media, anche se probabilmente sarebbe più corretta della media dell'intera corsa.

Fino all'invenzione del calcolo, l'unico modo per risolverlo era quello di tagliare il tempo in pezzi sempre più piccoli, in modo che la velocità media sul tempo più piccolo si avvicinasse sempre più alla velocità reale di 1,5 secondi esatti. Questo era un processo molto lungo e difficile e doveva essere fatto ogni volta che si voleva risolvere qualcosa. Immaginate un guidatore che cerca di capire la velocità di un'auto usando solo il suo contachilometri (misuratore di distanza) e l'orologio, senza un tachimetro!

Un problema molto simile è trovare la pendenza (quanto è ripida) in qualsiasi punto di una curva. La pendenza di una linea retta è facile da calcolare: è semplicemente quanto sale (y o verticale) diviso per quanto la attraversa (x o orizzontale). Se una linea è parallela all'asse x, allora la sua pendenza è zero. Se una linea retta passa per (x,y) = (2,10) e (4,18), la linea sale di 8 e passa per 2, quindi la sua pendenza è 8 diviso 2, che è 4.

Su una 'curva', però, la pendenza è variabile (ha valori diversi in punti diversi) perché la linea si piega. Ma se la curva venisse tagliata in pezzi molto, molto piccoli, la curva nel punto sembrerebbe quasi una linea retta molto corta. Quindi, per calcolare la sua pendenza, si può tracciare una linea retta attraverso il punto con la stessa pendenza della curva in quel punto. Se è fatto esattamente bene, la linea retta avrà la stessa pendenza della curva, ed è chiamata tangente. Ma non c'è modo di sapere (senza calcoli) se la tangente è esattamente giusta, e i nostri occhi non sono abbastanza precisi per essere certi che sia esatta o semplicemente molto vicina.

Ciò che Newton e Leibniz trovarono fu un modo per calcolare esattamente la pendenza (o la velocità nell'esempio della distanza) usando regole semplici e logiche. Divisero la curva in un numero infinito di pezzi molto piccoli. Poi scelsero dei punti su entrambi i lati del punto che gli interessava ed elaborarono le tangenti a ciascuno di essi. Man mano che i punti si avvicinavano verso il punto che gli interessava, la pendenza si avvicinava ad un valore particolare man mano che le tangenti si avvicinavano alla pendenza reale della curva. Dissero che questo particolare valore a cui si avvicinava era la pendenza reale.

Su una curva, due punti diversi hanno pendenze diverse. Le linee rossa e blu sono tangenti alla curva.
Su una curva, due punti diversi hanno pendenze diverse. Le linee rossa e blu sono tangenti alla curva.

Come funziona

Diciamo che abbiamo una funzione y = f(x). f è l'abbreviazione di funzione, quindi questa equazione significa "y è una funzione di x". Questo ci dice che l'altezza di y sull'asse verticale dipende da ciò che x (l'asse orizzontale) è in quel momento. Per esempio, con l'equazione y = , sappiamo che se x è 1, allora y sarà 1; se x è 3, allora y sarà 9; se x è 20, allora y sarà 400.

Scegli un punto A sulla curva, e chiama la sua posizione orizzontale x. Poi scegli un altro punto B sulla curva che è un po' più lontano di A, e chiama la sua posizione orizzontale x + h. Non importa quanto sia h, è un numero molto piccolo.

Così quando andiamo dal punto A al punto B, la posizione verticale è passata da f(x) a f(x + h), e la posizione orizzontale è passata da x a x + h. Ora ricordate che la pendenza è quanto sale diviso quanto attraversa. Quindi la pendenza sarà:

f ( x + h ) - f ( x ) h {displaystyle {frac {f(x+h)-f(x)}{h}} {\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}

Se si porta B sempre più vicino ad A - il che significa che h si avvicina sempre più a 0 - allora ci avviciniamo a sapere qual è la pendenza nel punto A.

lim h → 0 f ( x + h ) - f ( x ) h {\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{frac {f(x+h)-f(x)}{h}} {\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}

Ora torniamo a y = . La pendenza di questo può essere determinata come segue:

= lim h → 0 f ( x + h ) - f ( x ) h = lim h → 0 ( x + h ) 2 - ( x ) 2 h {\displaystyle {begin{aligned}&==lim _{h{destra freccia 0}{frac {f(x+h)-f(x)}{h}}&=lim _{h{destra freccia 0}{frac {(x+h)^{2}-(x)^{2}}{h}} fine{aligned}} {\displaystyle {\begin{aligned}&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(x+h)^{2}-(x)^{2}}{h}}\end{aligned}}}

Applicando il teorema binomiale che afferma ( x + y ) 2 = x 2 + 2 x y + y 2 {displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}}{\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}} possiamo ridurre a:

= lim h → 0 x 2 + 2 x h + h 2 - x 2 h = lim h → 0 2 x h + h 2 h = lim h → 0 2 x + h = 2 x {\displaystyle {\begin{aligned}&==lim _{h{diritto 0}{frac {x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}}{h}&=lim _{h{diritto 0}{frac {2xh+h^{2}}{h}}&=lim _{h{diritto 0}{2x+h^{2}{h}&={{frac {}2x+h{end{aligned}} {\displaystyle {\begin{aligned}&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {2xh+h^{2}}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}2x+h\\&={\frac {}{}}2x\end{aligned}}}

Così sappiamo, senza dover disegnare nessuna linea tangente, che in qualsiasi punto della curva f(x) = , la derivata f'(x) (segnata con un apostrofo) sarà 2x in qualsiasi punto. Questo processo di calcolo di una pendenza usando i limiti è chiamato differenziazione, o trovare la derivata.

Leibniz arrivò allo stesso risultato, ma chiamò h "dx", che significa "una piccola quantità di x". Chiamò il cambiamento risultante in f(x) "dy", che significa "una piccola quantità di y". La notazione di Leibniz è usata da più libri perché è facile da capire quando le equazioni diventano più complicate. Nella notazione di Leibniz:

d y d x = f ′ ( x ) {displaystyle {frac {dy}{dx}}=f'(x)} {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f'(x)}

Un'immagine che mostra cosa significano x e x + h sulla curva.
Un'immagine che mostra cosa significano x e x + h sulla curva.

Regole

Usando il sistema di cui sopra, i matematici hanno elaborato delle regole che funzionano sempre, indipendentemente dalla funzione che si sta guardando. (Nota: qui, u {displaystyle u} {\displaystyle u}e v {displaystyle v} {\displaystyle v}sono entrambi funzioni di x {displaystyle x} x)

Condizione

Funzione

Derivato

Esempio

Derivato

Un numero da solo

y = a {\displaystyle y=a} {\displaystyle y=a}

d y d x = 0 {displaystyle {frac {dy}{dx}=0} {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=0}

y = 3 {\displaystyle y=3} {\displaystyle y=3}

0 {\displaystyle 0} {\displaystyle 0}

Una linea retta

y = m x + c {\displaystyle y=mx+c} {\displaystyle y=mx+c}

d y d x = m {displaystyle {frac {dy}{dx}=m} {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=m}

y = 3 x + 5 {displaystyle y=3x+5} {\displaystyle y=3x+5}

3 {\displaystyle 3} {\displaystyle 3}

x alla potenza di un numero

x a {\displaystyle x^{a}} {\displaystyle x^{a}}

d y d x = a x a - 1 {displaystyle {frac {dy}{dx}}=ax^{a-1}} {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=ax^{a-1}}

x 12 {displaystyle x^{12}} {\displaystyle x^{12}}

12 x 11 {\displaystyle 12x^{11} {\displaystyle 12x^{11}}

Un numero moltiplicato per una funzione

y = c ⋅ u {displaystyle y=c\cdot u} {\displaystyle y=c\cdot u}

d y d x = c d u d x {displaystyle {frac {dy}{dx}}=c{frac {du}{dx}} {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=c{\frac {du}{dx}}}

y = 3 ( x 2 + x ) {displaystyle y=3(x^{2}+x)} {\displaystyle y=3(x^{2}+x)}

3 ( 2 x + 1 ) {\displaystyle 3(2x+1)} {\displaystyle 3(2x+1)}

Una funzione più un'altra funzione

y = u + v {\displaystyle y=u+v} {\displaystyle y=u+v}

d y d x = d u d x + d v d x {displaystyle {frac {dy}{dx}={frac {du}{dx}+{frac {dv}{dx}} {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dx}}}

y = 3 x 2 + x {displaystyle y=3x^{2}+{sqrt {x}} {\displaystyle y=3x^{2}+{\sqrt {x}}}

6 x + 1 x {displaystyle 6x+{frac {1}{sqrt {x}}}} {\displaystyle 6x+{\frac {1}{\sqrt {x}}}}

Una funzione meno un'altra funzione

y = u - v {\displaystyle y=u-v} {\displaystyle y=u-v}

d y d x = d u d x - d v d x {displaystyle {\frac {dy}{dx}}={frac {du}{dx}}-{frac {dv}{dx}} {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {du}{dx}}-{\frac {dv}{dx}}}

y = 3 x 2 - x {displaystyle y=3x^{2}-{sqrt {x}} {\displaystyle y=3x^{2}-{\sqrt {x}}}

6 x - 1 x {displaystyle 6x-{frac {1}{sqrt {x}}}} {\displaystyle 6x-{\frac {1}{\sqrt {x}}}}

Regola del prodottoUna
funzione moltiplicata per un'altra funzione

y = u ⋅ v {displaystyle y=u\cdot v} {\displaystyle y=u\cdot v}

d y d x = d u d x v + u d v d x {displaystyle {frac {dy}{dx}}={frac {du}{dx}}v+u{frac {dv}{dx}} {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {du}{dx}}v+u{\frac {dv}{dx}}}

y = ( x 2 + x + 2 ) ( 3 x - 1 ) {\displaystyle y=(x^{2}+x+2)(3x-1)} {\displaystyle y=(x^{2}+x+2)(3x-1)}

( 3 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) + 3 ( x 2 + x + 2 ) {\displaystyle (3x-1)(2x+1)+3(x^{2}+x+2)} {\displaystyle (3x-1)(2x+1)+3(x^{2}+x+2)}

Regola del quozienteUna
funzione divisa per un'altra funzione

y = u v {\displaystyle y={frac {u}{v}}} {\displaystyle y={\frac {u}{v}}}

d y d x = d u d x v - u d v d x v 2 {displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {du}{dx}}v-u{\frac {dv}{dx}}}{v^{2}}}} {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {{\frac {du}{dx}}v-u{\frac {dv}{dx}}}{v^{2}}}}

y = x 2 + 2 x - 1 {displaystyle y={frac {x^{2}+2}{x-1}} {\displaystyle y={\frac {x^{2}+2}{x-1}}}

2 x ( x - 1 ) - ( x 2 + 2 ) ( x - 1 ) 2 {displaystyle {\frac {2x(x-1)-(x^{2}+2)}{(x-1)^{2}}}} {\displaystyle {\frac {2x(x-1)-(x^{2}+2)}{(x-1)^{2}}}}

Regola della catenaUtilizzata
per le funzioni composte

y = u ∘ v {displaystyle y=u\circ v} {\displaystyle y=u\circ v}

d y d x = d y d u ⋅ d u d x {displaystyle {frac {dy}{dx}={frac {dy}{du}}cdot {frac {du}{dx}} {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}}

y = 2 x - 1 {displaystyle y={sqrt {2x-1}} {\displaystyle y={\sqrt {2x-1}}}

2 2 2 x - 1 = 1 2 x - 1 {displaystyle {frac {2}{2{sqrt {2x-1}}}}={frac {1}{sqrt {2x-1}}}} {\displaystyle {\frac {2}{2{\sqrt {2x-1}}}}={\frac {1}{\sqrt {2x-1}}}}

Una funzione esponenziale

y = e x {displaystyle {frac {}y=e^{x}} {\displaystyle {\frac {}{}}y=e^{x}}

d y d x = e x {displaystyle {frac {dy}{dx}}=e^{x}} {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=e^{x}}

y = e x {displaystyle {frac {}y=e^{x}} {\displaystyle {\frac {}{}}y=e^{x}}

e x {displaystyle {frac {}e^{x}} {\displaystyle {\frac {}{}}e^{x}}


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