Numero di Fermat
Un numero Fermat è un numero positivo speciale. I numeri di Fermat prendono il nome da Pierre de Fermat. La formula che li genera è
F n = 2 2 2 n + 1 {\displaystyle F_{n}=2^{2^{2^{overset {n}{}}}}+1} 
dove n è un numero intero non negativo. I primi nove numeri di Fermat sono (sequenza A000215 nell'OEIS):
F0 = 21 + 1 = 3
F1 = 22 + 1 = 5
F2 = 24 + 1 = 17
F3 = 28 + 1 = 257
F4 = 216 + 1 = 65537
F5 = 232 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417
F6 = 264 + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721
F7 = 2128 + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721
F8 = 2256 + 1 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 = 1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321
A partire dal 2007, solo i primi 12 numeri di Fermat sono stati completamente contabilizzati. (scritti come prodotto dei numeri primi) Queste fattorizzazioni si possono trovare in Prime Factors of Fermat Numbers.
Se 2n + 1 è primo, e n > 0, si può dimostrare che n deve essere una potenza di due. Ogni primo della forma 2n + 1 è un numero di Fermat, e tali primi sono chiamati primi di Fermat. Gli unici numeri primi di Fermat conosciuti sono F0,...,F4.
Cose interessanti sui numeri di Fermat
- Non ci sono due numeri di Fermat che abbiano divisori comuni.
- I numeri di Fermat possono essere calcolati in modo ricorsivo: Per ottenere il numero Nth, moltiplicare tutti i numeri di Fermat prima di esso e aggiungerne due al risultato.
A cosa servono
Oggi, i numeri di Fermat possono essere utilizzati per generare numeri casuali, tra 0 e un certo valore N, che è una potenza di 2.
La congettura di Fermat
Fermat, quando studiava questi numeri, ipotizzava che tutti i numeri di Fermat fossero primi. Questo fu dimostrato da Leonhard Euler che si sbagliava, che fattorizzò il F 5 {\fisico F_{5}}}
nel 1732.
Domande e risposte
D: Che cos'è un numero di Fermat?
R: Un numero di Fermat è un numero positivo speciale che prende il nome da Pierre de Fermat. È generato dalla formula F_n = 2^2^(n) + 1, dove n è un numero intero non negativo.
D: Quanti numeri di Fermat esistono?
R: A partire dal 2007, solo i primi 12 numeri di Fermat sono stati completamente fattorizzati.
D: Quali sono i primi nove numeri di Fermat?
A: I primi nove numeri di Fermat sono F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537, F5 = 4294967297 (641 × 6700417), F6 = 18446744073709551617 (274177 × 67280421310721), F7 = 340282366920938463463374607431768211457 (59649589127497217 × 5704689200685129054721), e F8 = 1157920892373161954235709850086879078532699846656405640394575847913129639937 (1238926361552897 × 934616397153579769163558199606896584051237541638188580280321).
D: Cosa si può dire dei numeri primi della forma 2n + 1?
R: Se 2n + 1 è primo e n > 0, si può dimostrare che n deve essere una potenza di due. Ogni primo della forma 2n + 1 è anche un numero di Fermat e tali primi sono chiamati primi di Fermat. Gli unici primi di Fermat conosciuti vanno da 0 a 4.
D: Dove si possono trovare le fattorizzazioni per tutti i 12 numeri di Fermat fattorizzati conosciuti?
R: Le fattorizzazioni di tutti i 12 numeri di Fermat fattorizzati conosciuti si trovano su Fattori primi dei numeri di Fermat.
D: Chi era Pierre de Fermaat?
R: Pierre de Fermaat è stato un influente matematico francese vissuto nel XVII secolo, il cui lavoro ha gettato molte delle basi della matematica moderna. È conosciuto soprattutto per i suoi contributi alla teoria della probabilità e alla geometria analitica, oltre che per il suo famoso Ultimo Teorema, rimasto irrisolto fino al 1995, quando è stato finalmente dimostrato da Andrew Wiles, utilizzando metodi della geometria algebrica.
