Numero di Fermat

Autore: Leandro Alegsa Data di creazione: 20 dicembre 2020

Un numero Fermat è un numero positivo speciale. I numeri di Fermat prendono il nome da Pierre de Fermat. La formula che li genera è

F n = 2 2 2 n + 1 {\displaystyle F_{n}=2^{2^{2^{overset {n}{}}}}+1} $F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}}+1$

dove n è un numero intero non negativo. I primi nove numeri di Fermat sono (sequenza A000215 nell'OEIS):

F0 = ²¹ + 1 = 3

F1 = ²² + 1 = 5

F2 = ²⁴ + 1 = 17

F3 = ²⁸ + 1 = 257

F4 = 216 + 1 = 65537

F5 = 232 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417

F6 = 264 + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721

F7 = 2128 + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721

F8 = ²²⁵⁶ + 1 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 = 1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321

A partire dal 2007, solo i primi 12 numeri di Fermat sono stati completamente contabilizzati. (scritti come prodotto dei numeri primi) Queste fattorizzazioni si possono trovare in Prime Factors of Fermat Numbers.

Se 2n + 1 è primo, e n > 0, si può dimostrare che n deve essere una potenza di due. Ogni primo della forma 2n + 1 è un numero di Fermat, e tali primi sono chiamati primi di Fermat. Gli unici numeri primi di Fermat conosciuti sono F0,...,F4.

Cose interessanti sui numeri di Fermat

Non ci sono due numeri di Fermat che abbiano divisori comuni.
I numeri di Fermat possono essere calcolati in modo ricorsivo: Per ottenere il numero Nth, moltiplicare tutti i numeri di Fermat prima di esso e aggiungerne due al risultato.

A cosa servono

Oggi, i numeri di Fermat possono essere utilizzati per generare numeri casuali, tra 0 e un certo valore N, che è una potenza di 2.

La congettura di Fermat

Fermat, quando studiava questi numeri, ipotizzava che tutti i numeri di Fermat fossero primi. Questo fu dimostrato da Leonhard Euler che si sbagliava, che fattorizzò il F 5 {\fisico F_{5}}} $F_{5}$ nel 1732.

Domande e risposte

D: Che cos'è un numero di Fermat?

R: Un numero di Fermat è un numero positivo speciale che prende il nome da Pierre de Fermat. È generato dalla formula F_n = 2^2^(n) + 1, dove n è un numero intero non negativo.

D: Quanti numeri di Fermat esistono?

R: A partire dal 2007, solo i primi 12 numeri di Fermat sono stati completamente fattorizzati.

D: Quali sono i primi nove numeri di Fermat?

A: I primi nove numeri di Fermat sono F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537, F5 = 4294967297 (641 × 6700417), F6 = 18446744073709551617 (274177 × 67280421310721), F7 = 340282366920938463463374607431768211457 (59649589127497217 × 5704689200685129054721), e F8 = 1157920892373161954235709850086879078532699846656405640394575847913129639937 (1238926361552897 × 934616397153579769163558199606896584051237541638188580280321).

D: Cosa si può dire dei numeri primi della forma 2n + 1?

R: Se 2n + 1 è primo e n > 0, si può dimostrare che n deve essere una potenza di due. Ogni primo della forma 2n + 1 è anche un numero di Fermat e tali primi sono chiamati primi di Fermat. Gli unici primi di Fermat conosciuti vanno da 0 a 4.

D: Dove si possono trovare le fattorizzazioni per tutti i 12 numeri di Fermat fattorizzati conosciuti?

R: Le fattorizzazioni di tutti i 12 numeri di Fermat fattorizzati conosciuti si trovano su Fattori primi dei numeri di Fermat.

D: Chi era Pierre de Fermaat?

R: Pierre de Fermaat è stato un influente matematico francese vissuto nel XVII secolo, il cui lavoro ha gettato molte delle basi della matematica moderna. È conosciuto soprattutto per i suoi contributi alla teoria della probabilità e alla geometria analitica, oltre che per il suo famoso Ultimo Teorema, rimasto irrisolto fino al 1995, quando è stato finalmente dimostrato da Andrew Wiles, utilizzando metodi della geometria algebrica.