Frattale
Un frattale è un qualsiasi modello che, se visto come un'immagine, produce un'immagine che, se ingrandita, produce ancora la stessa immagine. Può essere tagliato in parti che sembrano una versione più piccola dell'immagine da cui si è partiti. La parola frattale è stata creata da Benoît Mandelbrot nel 1975 dalla parola latina fractus, che significa "rotto" o "fratturato". Un semplice esempio è un albero che si ramifica in rami più piccoli, e questi rami in rami più piccoli e così via. I frattali non sono solo belli, ma hanno anche molte applicazioni pratiche.
Un triangolo Sierpinski, dopo 7 iterazioni.
L'insieme di Mandelbrot è un famoso esempio di frattale.
Esempi
Ci sono molti tipi di frattali, realizzati in una grande varietà di modi. Un esempio è il triangolo di Sierpinski, dove ci sono un numero infinito di piccoli triangoli dentro quello grande. Un altro esempio è l'insieme Mandelbrot, dal nome di Benoît Mandelbrot. Il triangolo di Sierpinski è costruito usando modelli, ma l'insieme di Mandelbrot è basato su un'equazione.
Ci sono anche molti esempi naturali di frattali in natura, tra cui alberi, fiocchi di neve, alcuni vegetali e linee di costa.
La curva di Koch
La curva di Koch è un semplice esempio di frattale. Per prima cosa, inizia con una parte di una linea retta - chiamata segmento di linea retta. Tagliare la linea in 3 pezzi della stessa dimensione. Sbarazzati del centro di questi pezzi, e metti la parte superiore di un triangolo con i lati della stessa lunghezza del pezzo da tagliare. Ora abbiamo 4 segmenti di linea che si toccano alle estremità. Ora possiamo fare quello che abbiamo appena fatto al primo segmento per ognuno dei 4 pezzi. Ora possiamo fare la stessa cosa ancora e ancora a tutti i bit che abbiamo alla fine. Ora lo facciamo all'infinito e guardiamo cosa otteniamo.
La lunghezza della curva di Koch è infinita, e l'area della curva di Koch è zero. Questo è abbastanza strano. Un segmento di linea (con dimensione 1) potrebbe avere una lunghezza di 1, ma ha un'area di 0. Un quadrato di lunghezza 1 e larghezza 1 (con dimensione 2) avrà area 1 e lunghezza infinita.
Dimensione della somiglianza
Così, la curva di Koch sembra essere più grande di qualcosa di dimensione 1, e più piccola di qualcosa di dimensione 2. L'idea della dimensione di somiglianza è di dare una dimensione che dia una migliore idea della lunghezza o dell'area per i frattali. Quindi, per una curva di Koch, vogliamo una dimensione tra 1 e 2.
La curva di Koch può essere tagliata in quattro pezzi, ognuno dei quali è 1 3 {displaystyle {frac {1}{3}}
della dimensione dell'originale. Chiamiamo il numero di pezzi in cui un frattale può essere tagliato N {displaystyle N}
, e chiamiamo la differenza di dimensione B {displaystyle B}
. Li mettiamo nell'equazione:
log N - log B {displaystyle {frac {log N}{-\log B}} 
Dove log {displaystyle \log }
è il logaritmo di un numero. Questo numero è la dimensione Hausdorff del frattale. Nella curva di Koch, questo è log 4 - log 1 3 = 1,2619... {displaystyle {frac {log 4}{-\log {frac {1}{3}}}}=1.2619... } 
come volevamo.
La curva di Koch è una delle forme frattali più semplici e quindi la sua dimensione è facile da calcolare. La sua dimensione di similarità e la dimensione di Hausdorff sono entrambe uguali. Questo non è vero per i frattali più complessi.
Koch fiocco di neve
Il fiocco di neve di Koch (o stella di Koch) è lo stesso della curva di Koch, tranne che inizia con un triangolo equilatero invece di un segmento di linea.
Come fare la curva di Koch
Usa
I frattali hanno molte applicazioni, per esempio in biologia (polmoni, reni, variabilità della frequenza cardiaca, ecc...), nei terremoti, nella finanza dove sono legati alle cosiddette distribuzioni a coda pesante e nella fisica. Questo indica che i frattali dovrebbero essere studiati per capire perché i frattali sono così frequenti in natura.Alcuni frattali esistono solo per ragioni artistiche, ma altri sono molto utili. I frattali sono forme molto efficienti per le antenne radio e sono usati nei chip dei computer per collegare in modo efficiente tutti i componenti. Anche le linee costiere possono essere pensate come frattali.
Domande e risposte
D: Che cos'è un frattale?
R: Un frattale è un qualsiasi schema che, se visto come immagine, produce un'immagine che rimane la stessa se ingrandita.
D: A chi è attribuito il merito di aver coniato il termine "frattale"?
R: Il termine "frattale" è stato coniato da Benoît Mandelbrot nel 1975.
D: Qual è l'etimologia della parola "frattale"?
R: Il termine "frattale" deriva dalla parola latina "fractus" che significa "rotto" o "fratturato".
D: I frattali possono essere tagliati in parti?
R: Sì, i frattali possono essere tagliati in parti che assomigliano a una versione più piccola dell'immagine di partenza.
D: Può fare un esempio di frattale?
R: Un semplice esempio di frattale è un albero che si ramifica in rami più piccoli, e questi rami in rami più piccoli e così via.
D: Quali applicazioni pratiche hanno i frattali?
R: I frattali hanno molte applicazioni pratiche, come la grafica computerizzata, la medicina, la fisica e la finanza.
D: Perché i frattali sono importanti?
R: I frattali sono importanti perché possono aiutarci a comprendere fenomeni naturali complessi e a creare modelli e simulazioni più accurati.
