Ci sono molti tipi di frattali, realizzati in una grande varietà di modi. Un esempio è il triangolo di Sierpinski, dove ci sono un numero infinito di piccoli triangoli dentro quello grande. Un altro esempio è l'insieme Mandelbrot, dal nome di Benoît Mandelbrot. Il triangolo di Sierpinski è costruito usando modelli, ma l'insieme di Mandelbrot è basato su un'equazione.
Ci sono anche molti esempi naturali di frattali in natura, tra cui alberi, fiocchi di neve, alcuni vegetali e linee di costa.
La curva di Koch
La curva di Koch è un semplice esempio di frattale. Per prima cosa, inizia con una parte di una linea retta - chiamata segmento di linea retta. Tagliare la linea in 3 pezzi della stessa dimensione. Sbarazzati del centro di questi pezzi, e metti la parte superiore di un triangolo con i lati della stessa lunghezza del pezzo da tagliare. Ora abbiamo 4 segmenti di linea che si toccano alle estremità. Ora possiamo fare quello che abbiamo appena fatto al primo segmento per ognuno dei 4 pezzi. Ora possiamo fare la stessa cosa ancora e ancora a tutti i bit che abbiamo alla fine. Ora lo facciamo all'infinito e guardiamo cosa otteniamo.
La lunghezza della curva di Koch è infinita, e l'area della curva di Koch è zero. Questo è abbastanza strano. Un segmento di linea (con dimensione 1) potrebbe avere una lunghezza di 1, ma ha un'area di 0. Un quadrato di lunghezza 1 e larghezza 1 (con dimensione 2) avrà area 1 e lunghezza infinita.
Dimensione della somiglianza
Così, la curva di Koch sembra essere più grande di qualcosa di dimensione 1, e più piccola di qualcosa di dimensione 2. L'idea della dimensione di somiglianza è di dare una dimensione che dia una migliore idea della lunghezza o dell'area per i frattali. Quindi, per una curva di Koch, vogliamo una dimensione tra 1 e 2.
La curva di Koch può essere tagliata in quattro pezzi, ognuno dei quali è 1 3 {displaystyle {frac {1}{3}}
della dimensione dell'originale. Chiamiamo il numero di pezzi in cui un frattale può essere tagliato N {displaystyle N}
, e chiamiamo la differenza di dimensione B {displaystyle B}
. Li mettiamo nell'equazione:
log N - log B {displaystyle {frac {log N}{-\log B}} 
Dove log {displaystyle \log }
è il logaritmo di un numero. Questo numero è la dimensione Hausdorff del frattale. Nella curva di Koch, questo è log 4 - log 1 3 = 1,2619... {displaystyle {frac {log 4}{-\log {frac {1}{3}}}}=1.2619... } 
come volevamo.
La curva di Koch è una delle forme frattali più semplici e quindi la sua dimensione è facile da calcolare. La sua dimensione di similarità e la dimensione di Hausdorff sono entrambe uguali. Questo non è vero per i frattali più complessi.
Koch fiocco di neve
Il fiocco di neve di Koch (o stella di Koch) è lo stesso della curva di Koch, tranne che inizia con un triangolo equilatero invece di un segmento di linea.
