Logaritmo

I logaritmi o tronchi fanno parte della matematica. Sono legati a funzioni esponenziali. Un logaritmo dice quale esponente (o potenza) è necessario per fare un certo numero, quindi i logaritmi sono l'inverso (opposto) dell'esponenziazione. Storicamente, sono stati utili nel moltiplicare o dividere grandi numeri.

Un esempio di logaritmo è il log 2 ( 8 ) = 3 {\displaystyle \log _{2}(8)=3\ } $\log _{2}(8)=3\$ . In questo logaritmo, la base è 2, l'argomento è 8 e la risposta è 3.

I tipi di logaritmi più comuni sono i logaritmi comuni, dove la base è 10, e i logaritmi naturali, dove la base è e ≈ 2,71828.

Una conchiglia di nautilus aperta. Le sue camere formano una spirale logaritmica

Storia

I logaritmi furono usati per la prima volta in India nel II secolo a.C. Il primo a utilizzare i logaritmi in epoca moderna fu il matematico tedesco Michael Stifel (1487-1567 circa). Nel 1544, egli scrisse le seguenti equazioni: q m q n = q m + n {\displaystyle q^{m}q^{n}=q^{m+n}} $q^{m}q^{n}=q^{m+n}$ e q m q n = q m - n {\displaystyle {\frac {q^{m}}{q^{n}}}=q^{m-n}}}. ${\tfrac {q^{m}}{q^{n}}}=q^{m-n}$ Questa è la base per la comprensione dei logaritmi. Per Stifel, m {\i} e n {\i} dovevano essere numeri interi. John Napier (1550-1617) non voleva questa restrizione e voleva un intervallo per gli esponenti.

Secondo Napier, i logaritmi esprimono i rapporti: uno stile di visualizzazione a ha lo stesso rapporto con lo stile di visualizzazione b $b$ , come lo stile di visualizzazione c $c$ con lo stile di visualizzazione d $d$ se la differenza dei loro logaritmi corrisponde. Matematicamente: log ( a ) - log ( b ) = log ( c ) - log ( d ) {\pos(a)-log(b)=log(c)-log(d)} $\log(a)-\log(b)=\log(c)-\log(d)$ . All'inizio è stata utilizzata la base e (anche se il numero non era ancora stato nominato). Henry Briggs propose di usare 10 come base per i logaritmi, tali logaritmi sono molto utili in astronomia.

John Napier ha lavorato sui logaritmi

Rapporto con le funzioni esponenziali

Un logaritmo dice quale esponente (o potenza) è necessario per fare un certo numero, quindi i logaritmi sono l'inverso (opposto) dell'esponenziazione.

Così come una funzione esponenziale ha tre parti, un logaritmo ha tre parti. Le tre parti di un logaritmo sono una base, un argomento e una risposta (chiamata anche potenza).

Questa è una funzione esponenziale:

2 3 = 8 {\fscx130\fscy130\frx40}=8 $2^{3}=8\$

In questa funzione, la base è 2, l'argomento è 3 e la risposta è 8.

Questa funzione esponenziale ha un inverso, il suo logaritmo:

log 2 ( 8 ) = 3 {\fscx130\fscy130\frx40}-log _{2}(8)=3\fscy130\frx40}- log 2 ( 8 ) = 3 $\log _{2}(8)=3\$

In questo logaritmo, la base è 2, l'argomento è 8 e la risposta è 3.

Differenza rispetto alle radici

L'addizione ha un'operazione inversa: la sottrazione. Inoltre, la moltiplicazione ha un'operazione inversa: la divisione. Pertanto, può essere difficile capire perché l'esponenziazione ha in realtà due operazioni inverse: Perché abbiamo bisogno del logaritmo se c'è già la radice? Questo è il caso perché l'esponenziazione non è commutativa.

L'esempio seguente lo illustra:

Se avete x+2=3, allora potete usare la sottrazione per scoprire che x=3-2. Questo è lo stesso se si ha 2+x=3: si ottiene anche x=3-2. Questo perché x+2 è lo stesso di 2+x.
Se si dispone di x - 2=3, allora si può usare la divisione per scoprire che x=3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}}} {\frac ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . Questo è lo stesso se si ha 2 - x=3: si ottiene anche x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}}}}. ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . Questo perché x - 2 è uguale a 2 - x.
Se avete x²=3, allora usate la radice (quadrata) per scoprire x: Si ottiene il risultato x = 3 {\textstyle {\sqrt {\sqrt {3}}}}}} ${\textstyle {\sqrt {3}}}$ . Tuttavia, se avete 2x=3, non potete usare la radice per scoprire x. Piuttosto, dovete usare il logaritmo (binario) per scoprire x: Si ottiene il risultato x=log2(3).
Questo perché 2x di solito non è lo stesso di x2 (per esempio, ²⁵⁼³² ma 5²=25).

Utilizza

I logaritmi possono facilitare la moltiplicazione e la divisione di grandi numeri, perché aggiungere logaritmi equivale a moltiplicare, e sottrarre logaritmi equivale a dividere.

Prima che le calcolatrici diventassero popolari e comuni, la gente usava le tabelle logaritmiche nei libri per moltiplicare e dividere. Le stesse informazioni in una tabella logaritmica erano disponibili su un regolo calcolatore, uno strumento con logaritmi scritti su di essa.

Le spirali logaritmiche sono comuni in natura. Ne sono un esempio la conchiglia di un nautilo o la disposizione dei semi su un girasole.
In chimica, il negativo del logaritmo di base 10 dell'attività degli ioni idronio (H3O+, la forma H+ assume l'acqua) è la misura nota come pH. L'attività degli ioni idronio in acqua neutra è ^10-7 mol/L a 25 °C, quindi un pH di 7. (Questo è il risultato della costante di equilibrio, il prodotto della concentrazione di ioni idronio e ioni idrossile, in soluzioni acquose essendo 10-14 M2).
La scala Richter misura l'intensità dei terremoti su una scala logaritmica di base 10.
In astronomia, la magnitudine apparente misura la luminosità delle stelle in modo logaritmico, poiché anche l'occhio risponde logaritmicamente alla luminosità.
Gli intervalli musicali sono misurati logaritmicamente come semitoni. L'intervallo tra due note in semitoni è il logaritmo base-21/12 del rapporto di frequenza (o, in modo equivalente, 12 volte il logaritmo base-2). I semitoni frazionari sono usati per i temperamenti non uguali. Soprattutto per misurare le deviazioni dalla scala di temperamento uguale, gli intervalli sono espressi anche in centesimi (centesimi di un semitono di temperamento uguale). L'intervallo tra due note in centesimi è il logaritmo di base 21/1200 del rapporto di frequenza (o 1200 volte il logaritmo di base 2). In MIDI, le note sono numerate sulla scala dei semitoni (logaritmo assoluto nominale con C medio a 60). Per la microtuning con altri sistemi di accordatura, viene definita una scala logaritmica riempiendo in modo compatibile gli intervalli tra i semitoni della scala temperata uguale. Questa scala corrisponde ai numeri delle note per i semitoni interi. (vedi microtuning in MIDI).

Logaritmi comuni

I logaritmi in base 10 sono chiamati logaritmi comuni. Di solito sono scritti senza la base. Per esempio:

log ( 100 ) = 2 {\programma \displaystyle \log(100)=2\ } $\log(100)=2\$

Questo significa:

10 2 = 100 {\fscx130\fscy130\frx40}Stile di gioco 10^{2}=100\fscx130\fscy130\frx40}Eccocco. $10^{2}=100\$

Logaritmi naturali

I logaritmi alla base e sono chiamati logaritmi naturali. Il numero e è quasi 2,71828, ed è anche chiamato la costante euleriana, come il matematico Leonhard Euler.

I logaritmi naturali possono prendere i simboli log e ( x ) \x22displaystyle \x22log _{e}(x)\x22, $\log _{e}(x)\,$ \x22o ln \x22displaystyle \x22ln(x)\x22,\x22 $\ln(x)\,$

Alcuni autori preferiscono l'uso di logaritmi naturali come log ( x ) $\log(x)$ , ma di solito ne parlano nelle pagine delle prefazioni.

Basi comuni per logaritmi

base	abbreviazione	Commenti
2	ld - gioco d'azzardo - gioco d'azzardo - gioco d'azzardo } $\operatorname {ld}$	Molto comune in Informatica (binario)
e	In stile "In-displaystyle" $\ln$ o semplicemente "log"... $\log$	La base di questa è la costante euleriana e. Questo è il logaritmo più comune usato in matematica pura.
10	log 10 \displaystyle \displaystyle \log _{10}} $\log _{10}$ o log \displaystyle \log \log \log $\log$ (a volte anche scritto come lg {\an8} $\lg$ )	Usato in alcune scienze come la chimica e la biologia.
qualsiasi numero, n	log n \code(0144)\code(0144)\code(0144)\code(0144)\code(0144} $\log _{n}$	Questo è il modo generale di scrivere i logaritmi

Proprietà dei logaritmi

I logaritmi hanno molte proprietà. Per esempio:

Proprietà dalla definizione di un logaritmo

Questa proprietà è direttamente dalla definizione di un logaritmo:

log n ( n a ) = un \displaystyle \log _{n}(n^{a})=a $\log _{n}(n^{a})=a$ Per esempio

log 2 ( 2 3 ) = 3 {\displaystyle \progetto \log _{2}(2^{3})=3} $\log _{2}(2^{3})=3$ e

log 2 ( 1 2 ) = - 1 {\displaystyle \displaystyle \log _{2}{\frac {1}{2}{\bigg )}=-1} $\log _{2}{\bigg (}{\frac {1}{2}}{\bigg )}=-1$ perché 1 2 = 2 - 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}}=2^{-1}} ${\frac {1}{2}}=2^{-1}$ .

Il logaritmo in base b di un numero a è lo stesso logaritmo di a diviso per il logaritmo di b. Cioè,

log b ( a ) = log ( a ) log ( a ) log ( b ) \displaystyle \log _{b}(a)={frac {\an8}log(a)\an8}log(b) $\log _{b}(a)={\frac {\log(a)}{\log(b)}}$

Ad esempio, lasciate che a sia 6 e b sia 2. Con le calcolatrici possiamo dimostrare che questo è vero o almeno molto vicino:

log 2 ( 6 ) = log ( 6 ) log ( 6 ) log ( 2 ) \displaystyle \log _{2}(6)={\frac {\frac(6)}log(2) $\log _{2}(6)={\frac {\log(6)}{\log(2)}}$

log 2 ( 6 ) ≈ 2.584962 ≈ 2.584962 {\an8}(6)\an8}(6)\an8}(6)\an8}(6)\an8}(6)\an8}(6)\an8}(7) $\log _{2}(6)\approx 2.584962$

2,584962 ≈ 0,778151 0,301029 ≈ 2,584970 {\frac {0,778151}{0,301029}}}{0,584970} $2.584962\approx {\frac {0.778151}{0.301029}}\approx 2.584970$

I nostri risultati hanno avuto un piccolo errore, ma questo è dovuto all'arrotondamento dei numeri.

Poiché è difficile immaginare il logaritmo naturale, troviamo che, in termini di logaritmo di base-ten:

ln ( x ) = log ( x ) log ( e ) ≈ log ( x ) ≈ log ( x ) 0.434294 {\an8}{\an8}displaystyle \ln(x)={\an8}log(x)}{\an8}log(e)}approx {\an8}log(x)}{0.434294 $\ln(x)={\frac {\log(x)}{\log(e)}}\approx {\frac {\log(x)}{0.434294}}$ Dove 0,434294 è un'approssimazione per il logaritmo di e.

Operazioni all'interno di argomenti logaritmici

I logaritmi che si moltiplicano all'interno del loro argomento possono essere modificati come segue:

log ( a b ) = log ( a ) + log ( b ) {\a6} {\a6}}(a) = log(a)+\a6}(b)}(a)+log(b)}(b) $\log(ab)=\log(a)+\log(b)$

Per esempio,

log ( 1000 ) = log ( 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ) = log ( 10 ) + log ( 10 ) + log ( 10 ) + log ( 10 ) = 1 + 1 + 1 = 3 {\\fscx130\fscy130\frx40}log(1000)=\log(10\fscx130\fscy130\frx40}log(1000)=\fscx130\fscy130\frx40}log(10)+\fscx130\fscy130\fscy130\frx40}log(10)=1+1+1=3 $\log(1000)=\log(10\cdot 10\cdot 10)=\log(10)+\log(10)+\log(10)=1+1+1=3$

Lo stesso funziona per dividere ma sottrazione invece che per addizione, perché è l'operazione inversa di moltiplicazione:

log ( a b ) = log ( a ) - log ( b ) \displaystyle \bigg (\frac {\frac {\fscx130\fscy130\frx40}=log(a)-log(b)\fscx130\fscy130\frx40}- log(a)-log(b)\fscx130\fscy130\frx40}- log(a)-log(b) $\log {\bigg (}{\frac {a}{b}}{\bigg )}=\log(a)-\log(b)$

Tabelle logaritmiche, regoli calcolatori e applicazioni storiche

Prima dei computer elettronici, i logaritmi erano usati ogni giorno dagli scienziati. I logaritmi hanno aiutato scienziati e ingegneri in molti campi come l'astronomia.

Prima dei computer, la tabella dei logaritmi era uno strumento importante. Nel 1617, Henry Briggs stampò la prima tabella dei logaritmi. Questo fu subito dopo l'invenzione di base di Napier. Più tardi, la gente fece le tavole con una portata e una precisione migliori. Queste tabelle elencavano i valori di logb(x) e bx per qualsiasi numero x in un certo intervallo, con una certa precisione, per una certa base b (di solito b = 10). Per esempio, la prima tabella di Briggs conteneva i logaritmi comuni di tutti gli interi nell'intervallo 1-1000, con una precisione di 8 cifre. Poiché la funzione f(x) = bx è la funzione inversa di logb(x), è stata chiamata antilogaritmo. Le persone hanno usato queste tabelle per moltiplicare e dividere i numeri. Per esempio, un utente ha cercato il logaritmo nella tabella per ciascuno dei due numeri positivi. Aggiungendo i numeri della tabella si ottiene il logaritmo del prodotto. La caratteristica antilogaritmica della tabella avrebbe poi trovato il prodotto in base al suo logaritmo.

Per i calcoli manuali che richiedono precisione, eseguire la ricerca dei due logaritmi, calcolare la loro somma o differenza, e cercare l'antilogaritmo è molto più veloce che eseguire la moltiplicazione per vie precedenti.

Molte tabelle logaritmiche danno logaritmi fornendo separatamente la caratteristica e la mantissa di x, cioè la parte intera e la parte frazionaria di log10(x). La caratteristica di 10 - x è una più la caratteristica di x, e i loro significanti sono gli stessi. Questo estende il campo di applicazione delle tabelle dei logaritmi: data una tabella che elenca log10(x) per tutti i numeri interi x che vanno da 1 a 1000, il logaritmo di 3542 è approssimato da

log 10 ( 3542 ) = log 10 ( 10 ⋅ 354,2 ) = 1 + log 10 ( 354,2 ) ≈ 1 + log 10 ( 354,2 ) ≈ 1 + log 10 ( 354 ) . {\\fscx130\fscy130\frx40}(3542)=\fscx130\fscy130\frx40}(10 \cdot 354.2)=1 + log _{10}(354.2)\fscx130\fscy130\frx40}(354.2)\fscx130\fscy130\frx40}(354.2)\fscy130\frx40}(354.2). $\log _{10}(3542)=\log _{10}(10\cdot 354.2)=1+\log _{10}(354.2)\approx 1+\log _{10}(354).\,$

Un'altra applicazione critica è stato il regolo calcolatore, una coppia di scale logaritmicamente divise utilizzate per il calcolo, come illustrato qui:

I numeri sono marcati su scale scorrevoli a distanze proporzionali alle differenze tra i loro logaritmi. Lo scorrimento della scala superiore equivale ad aggiungere meccanicamente i logaritmi. Ad esempio, aggiungendo la distanza da 1 a 2 sulla scala inferiore alla distanza da 1 a 3 sulla scala superiore si ottiene un prodotto di 6, che viene letto nella parte inferiore. Molti ingegneri e scienziati hanno usato i regoli calcolatori fino agli anni '70. Gli scienziati possono lavorare più velocemente usando un regolo calcolatore piuttosto che una tabella logaritmica.

Rappresentazione schematica di un regolo calcolatore. A partire da 2 sulla scala inferiore, aggiungere la distanza a 3 sulla scala superiore per raggiungere il prodotto 6. Il regolo calcolatore funziona perché è contrassegnato in modo che la distanza da 1 a x sia proporzionale al logaritmo di x.

Le nebulose e gli ammassi stellari più vicini (mappa cliccabile)

Domande e risposte

D: Cosa sono i logaritmi?

R: I logaritmi sono una parte della matematica legata alle funzioni esponenziali. Indicano quale esponente è necessario per ottenere un determinato numero e sono l'inverso dell'esponenziazione.

D: Come venivano usati storicamente i logaritmi?

R: I logaritmi erano storicamente utili per moltiplicare o dividere grandi numeri.

D: Qual è un esempio di logaritmo?

R: Un esempio di logaritmo è log₂(8)=3, in cui la base è 2, l'argomento è 8 e la risposta è 3.

D: Cosa significa questo esempio?

R: Questo esempio significa che due elevato alla potenza di tre (2³) equivale a otto (2x2x2=8).

D: Quali sono alcuni tipi comuni di logaritmi?

R: Alcuni tipi comuni di logaritmi includono i logaritmi comuni con base 10, i logaritmi binari con base 2 e i logaritmi naturali con base e ≈ 2,71828.