I logaritmi hanno molte proprietà. Per esempio:
Proprietà dalla definizione di un logaritmo
Questa proprietà è direttamente dalla definizione di un logaritmo:
log n ( n a ) = un \displaystyle \log _{n}(n^{a})=a 
Per esempio
log 2 ( 2 3 ) = 3 {\displaystyle \progetto \log _{2}(2^{3})=3} 
e
log 2 ( 1 2 ) = - 1 {\displaystyle \displaystyle \log _{2}{\frac {1}{2}{\bigg )}=-1} 
perché 1 2 = 2 - 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}}=2^{-1}} 
.
Il logaritmo in base b di un numero a è lo stesso logaritmo di a diviso per il logaritmo di b. Cioè,
log b ( a ) = log ( a ) log ( a ) log ( b ) \displaystyle \log _{b}(a)={frac {\an8}log(a)\an8}log(b) 
Ad esempio, lasciate che a sia 6 e b sia 2. Con le calcolatrici possiamo dimostrare che questo è vero o almeno molto vicino:
log 2 ( 6 ) = log ( 6 ) log ( 6 ) log ( 2 ) \displaystyle \log _{2}(6)={\frac {\frac(6)}log(2) 
log 2 ( 6 ) ≈ 2.584962 ≈ 2.584962 {\an8}(6)\an8}(6)\an8}(6)\an8}(6)\an8}(6)\an8}(6)\an8}(7) 
2,584962 ≈ 0,778151 0,301029 ≈ 2,584970 {\frac {0,778151}{0,301029}}}{0,584970} 
I nostri risultati hanno avuto un piccolo errore, ma questo è dovuto all'arrotondamento dei numeri.
Poiché è difficile immaginare il logaritmo naturale, troviamo che, in termini di logaritmo di base-ten:
ln ( x ) = log ( x ) log ( e ) ≈ log ( x ) ≈ log ( x ) 0.434294 {\an8}{\an8}displaystyle \ln(x)={\an8}log(x)}{\an8}log(e)}approx {\an8}log(x)}{0.434294 
Dove 0,434294 è un'approssimazione per il logaritmo di e.
Operazioni all'interno di argomenti logaritmici
I logaritmi che si moltiplicano all'interno del loro argomento possono essere modificati come segue:
log ( a b ) = log ( a ) + log ( b ) {\a6} {\a6}}(a) = log(a)+\a6}(b)}(a)+log(b)}(b) 
Per esempio,
log ( 1000 ) = log ( 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ) = log ( 10 ) + log ( 10 ) + log ( 10 ) + log ( 10 ) = 1 + 1 + 1 = 3 {\\fscx130\fscy130\frx40}log(1000)=\log(10\fscx130\fscy130\frx40}log(1000)=\fscx130\fscy130\frx40}log(10)+\fscx130\fscy130\fscy130\frx40}log(10)=1+1+1=3 
Lo stesso funziona per dividere ma sottrazione invece che per addizione, perché è l'operazione inversa di moltiplicazione:
log ( a b ) = log ( a ) - log ( b ) \displaystyle \bigg (\frac {\frac {\fscx130\fscy130\frx40}=log(a)-log(b)\fscx130\fscy130\frx40}- log(a)-log(b)\fscx130\fscy130\frx40}- log(a)-log(b) 
Tabelle logaritmiche, regoli calcolatori e applicazioni storiche
Prima dei computer elettronici, i logaritmi erano usati ogni giorno dagli scienziati. I logaritmi hanno aiutato scienziati e ingegneri in molti campi come l'astronomia.
Prima dei computer, la tabella dei logaritmi era uno strumento importante. Nel 1617, Henry Briggs stampò la prima tabella dei logaritmi. Questo fu subito dopo l'invenzione di base di Napier. Più tardi, la gente fece le tavole con una portata e una precisione migliori. Queste tabelle elencavano i valori di logb(x) e bx per qualsiasi numero x in un certo intervallo, con una certa precisione, per una certa base b (di solito b = 10). Per esempio, la prima tabella di Briggs conteneva i logaritmi comuni di tutti gli interi nell'intervallo 1-1000, con una precisione di 8 cifre. Poiché la funzione f(x) = bx è la funzione inversa di logb(x), è stata chiamata antilogaritmo. Le persone hanno usato queste tabelle per moltiplicare e dividere i numeri. Per esempio, un utente ha cercato il logaritmo nella tabella per ciascuno dei due numeri positivi. Aggiungendo i numeri della tabella si ottiene il logaritmo del prodotto. La caratteristica antilogaritmica della tabella avrebbe poi trovato il prodotto in base al suo logaritmo.
Per i calcoli manuali che richiedono precisione, eseguire la ricerca dei due logaritmi, calcolare la loro somma o differenza, e cercare l'antilogaritmo è molto più veloce che eseguire la moltiplicazione per vie precedenti.
Molte tabelle logaritmiche danno logaritmi fornendo separatamente la caratteristica e la mantissa di x, cioè la parte intera e la parte frazionaria di log10(x). La caratteristica di 10 - x è una più la caratteristica di x, e i loro significanti sono gli stessi. Questo estende il campo di applicazione delle tabelle dei logaritmi: data una tabella che elenca log10(x) per tutti i numeri interi x che vanno da 1 a 1000, il logaritmo di 3542 è approssimato da
log 10 ( 3542 ) = log 10 ( 10 ⋅ 354,2 ) = 1 + log 10 ( 354,2 ) ≈ 1 + log 10 ( 354,2 ) ≈ 1 + log 10 ( 354 ) . {\\fscx130\fscy130\frx40}(3542)=\fscx130\fscy130\frx40}(10 \cdot 354.2)=1 + log _{10}(354.2)\fscx130\fscy130\frx40}(354.2)\fscx130\fscy130\frx40}(354.2)\fscy130\frx40}(354.2). 
Un'altra applicazione critica è stato il regolo calcolatore, una coppia di scale logaritmicamente divise utilizzate per il calcolo, come illustrato qui:
I numeri sono marcati su scale scorrevoli a distanze proporzionali alle differenze tra i loro logaritmi. Lo scorrimento della scala superiore equivale ad aggiungere meccanicamente i logaritmi. Ad esempio, aggiungendo la distanza da 1 a 2 sulla scala inferiore alla distanza da 1 a 3 sulla scala superiore si ottiene un prodotto di 6, che viene letto nella parte inferiore. Molti ingegneri e scienziati hanno usato i regoli calcolatori fino agli anni '70. Gli scienziati possono lavorare più velocemente usando un regolo calcolatore piuttosto che una tabella logaritmica.
. In questo logaritmo, la base è 2, l'argomento è 8 e la risposta è 3.
