I numeri immaginari nascono introducendo una nuova unità, chiamata unità immaginaria e indicata con i, definita dalla proprietà i 2 = - 1 {\displaystyle i^{2}=-1}{\displaystyle i^{2}=-1}. In pratica non esiste alcun numero reale che moltiplicato per sé dia un risultato negativo, perciò si introduce i come numero la cui quadrato è -1. I numeri che coinvolgono l'unità immaginaria si chiamano numeri complessi quando vengono combinati con numeri reali (per esempio 2+3i).

Concetto e analogia geometrica

Un numero immaginario puro ha la forma bi (con b reale). Visualizzando i numeri complessi sul piano di Gauss (piano complesso), le componenti reali corrispondono all'asse orizzontale e le componenti immaginarie all'asse verticale. Moltiplicare per i equivale a ruotare il punto di 90° in senso antiorario attorno all'origine e mantenere la stessa distanza dall'origine. Per esempio:

  • i corrisponde ad una rotazione di +90°;
  • i² = -1 corrisponde a una rotazione totale di 180°;
  • i³ = -i corrisponde a 270°;
  • i⁴ = 1 riporta alla posizione iniziale (360°).

Proprietà algebriche fondamentali

  • Addizione e sottrazione: come per i vettori, si sommano le parti reali e le parti immaginarie separatamente: (a+bi)+(c+di) = (a+c) + (b+d)i.
  • Moltiplicazione: (a+bi)(c+di) = (ac − bd) + (ad + bc)i, usando i² = −1.
  • Coniugato: il coniugato di z = a+bi è z̄ = a−bi; è utile per calcoli e per ottenere il modulo al quadrato: z·z̄ = a² + b².
  • Modulo (o valore assoluto): |a+bi| = √(a² + b²), misura la distanza dall'origine nel piano complesso.
  • Divisione: si effettua moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore. Per esempio (a+bi)/(c+di) = [(a+bi)(c−di)]/(c²+d²).

Forma polare ed esponenziale

Un numero complesso z = a+bi si può esprimere in forma polare come z = r(cos θ + i sin θ), dove r = |z| e θ è l'argomento di z (angolo dal positivo asse reale). La relazione fondamentale di Eulero è

e^{iθ} = cos θ + i sin θ,

quindi si può scrivere anche z = r e^{iθ}. Questa forma è particolarmente utile per semplificare le moltiplicazioni, le divisioni e il calcolo delle potenze e radici: moltiplicando si sommano gli argomenti e si moltiplicano i moduli; per le potenze z^n = r^n e^{inθ}.

Radici e polinomi

I numeri immaginari risolvono equazioni che non hanno soluzioni reali, ad esempio la radice quadrata di numeri negativi. Il fatto che esistano i numeri complessi permette il teorema fondamentale dell'algebra: ogni polinomio a coefficienti complessi di grado n ha esattamente n radici (contate con molteplicità) nel campo dei numeri complessi.

Esempi rapidi

  • Moltiplicazione: (2+3i)(1−4i) = 2·1 − 3·(−4) + (2·(−4) + 3·1)i = (2 + 12) + (−8 + 3)i = 14 − 5i.
  • Divisione: (1+2i)/(3−i) = [(1+2i)(3+i)]/(3²+1²) = (3 + i + 6i + 2i²)/10 = (3 + 7i − 2)/10 = (1 + 7i)/10 = 0.1 + 0.7i.

Applicazioni

I numeri immaginari e i numeri complessi sono strumenti fondamentali in molti rami della scienza e dell'ingegneria:

  • ingegneria elettrica: si usano quantità complesse per rappresentare tensioni e correnti in regime sinusoidale; gli ingegneri usano comunemente j al posto di i per evitare ambiguità con la corrente elettrica (indicata con i);
  • fisica e in particolare la fisica quantistica: l'unità immaginaria compare in equazioni fondamentali come l'equazione di Schrödinger;
  • elaborazione dei segnali, teoria dei controlli, analisi dei sistemi lineari, teoria dei circuiti, onde e ottica: qui la rappresentazione complessa semplifica notevolmente i calcoli.

Breve nota storica e interpretazione

Il termine "immaginario" fu coniato da René Descartes nel XVII secolo e originariamente aveva una connotazione di "non reale". Tuttavia, grazie ai lavori di matematici come Gerolamo Cardano (che incontrò soluzioni complesse già nel XVI secolo), Rafael Bombelli (che formulò regole operative per queste quantità) ed Euler e Gauss (che ne formalizzarono la notazione e la rappresentazione geometrica), i numeri immaginari sono oggi considerati parte integrante del sistema numerico. Il nome non deve trarre in inganno: i è un numero con proprietà precise e applicazioni concrete, tanto valido quanto gli altri numeri.

Conclusione

I numeri immaginari ampliano il concetto di numero e permettono di risolvere problemi impossibili nel solo insieme dei numeri reali. Combinati con i numeri reali formano i numeri complessi che sono uno strumento potente e onnipresente in matematica, fisica e ingegneria.