Numeri immaginari (i): definizione, proprietà ed applicazioni

Scopri i numeri immaginari: definizione chiara, proprietà essenziali e applicazioni in matematica, fisica e ingegneria. Guida pratica e intuitiva per tutti.

Autore: Leandro Alegsa

08-10-2025 13:18

I numeri immaginari nascono introducendo una nuova unità, chiamata unità immaginaria e indicata con i, definita dalla proprietà i 2 = - 1 {\displaystyle i^{2}=-1} $i^{2}=-1$ . In pratica non esiste alcun numero reale che moltiplicato per sé dia un risultato negativo, perciò si introduce i come numero la cui quadrato è -1. I numeri che coinvolgono l'unità immaginaria si chiamano numeri complessi quando vengono combinati con numeri reali (per esempio 2+3i).

Concetto e analogia geometrica

Un numero immaginario puro ha la forma bi (con b reale). Visualizzando i numeri complessi sul piano di Gauss (piano complesso), le componenti reali corrispondono all'asse orizzontale e le componenti immaginarie all'asse verticale. Moltiplicare per i equivale a ruotare il punto di 90° in senso antiorario attorno all'origine e mantenere la stessa distanza dall'origine. Per esempio:

i corrisponde ad una rotazione di +90°;
i² = -1 corrisponde a una rotazione totale di 180°;
i³ = -i corrisponde a 270°;
i⁴ = 1 riporta alla posizione iniziale (360°).

Proprietà algebriche fondamentali

Addizione e sottrazione: come per i vettori, si sommano le parti reali e le parti immaginarie separatamente: (a+bi)+(c+di) = (a+c) + (b+d)i.
Moltiplicazione: (a+bi)(c+di) = (ac − bd) + (ad + bc)i, usando i² = −1.
Coniugato: il coniugato di z = a+bi è z̄ = a−bi; è utile per calcoli e per ottenere il modulo al quadrato: z·z̄ = a² + b².
Modulo (o valore assoluto): |a+bi| = √(a² + b²), misura la distanza dall'origine nel piano complesso.
Divisione: si effettua moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore. Per esempio (a+bi)/(c+di) = [(a+bi)(c−di)]/(c²+d²).

Forma polare ed esponenziale

Un numero complesso z = a+bi si può esprimere in forma polare come z = r(cos θ + i sin θ), dove r = |z| e θ è l'argomento di z (angolo dal positivo asse reale). La relazione fondamentale di Eulero è

e^{iθ} = cos θ + i sin θ,

quindi si può scrivere anche z = r e^{iθ}. Questa forma è particolarmente utile per semplificare le moltiplicazioni, le divisioni e il calcolo delle potenze e radici: moltiplicando si sommano gli argomenti e si moltiplicano i moduli; per le potenze z^n = r^n e^{inθ}.

Radici e polinomi

I numeri immaginari risolvono equazioni che non hanno soluzioni reali, ad esempio la radice quadrata di numeri negativi. Il fatto che esistano i numeri complessi permette il teorema fondamentale dell'algebra: ogni polinomio a coefficienti complessi di grado n ha esattamente n radici (contate con molteplicità) nel campo dei numeri complessi.

Esempi rapidi

Moltiplicazione: (2+3i)(1−4i) = 2·1 − 3·(−4) + (2·(−4) + 3·1)i = (2 + 12) + (−8 + 3)i = 14 − 5i.
Divisione: (1+2i)/(3−i) = [(1+2i)(3+i)]/(3²+1²) = (3 + i + 6i + 2i²)/10 = (3 + 7i − 2)/10 = (1 + 7i)/10 = 0.1 + 0.7i.

Applicazioni

I numeri immaginari e i numeri complessi sono strumenti fondamentali in molti rami della scienza e dell'ingegneria:

ingegneria elettrica: si usano quantità complesse per rappresentare tensioni e correnti in regime sinusoidale; gli ingegneri usano comunemente j al posto di i per evitare ambiguità con la corrente elettrica (indicata con i);
fisica e in particolare la fisica quantistica: l'unità immaginaria compare in equazioni fondamentali come l'equazione di Schrödinger;
elaborazione dei segnali, teoria dei controlli, analisi dei sistemi lineari, teoria dei circuiti, onde e ottica: qui la rappresentazione complessa semplifica notevolmente i calcoli.

Breve nota storica e interpretazione

Il termine "immaginario" fu coniato da René Descartes nel XVII secolo e originariamente aveva una connotazione di "non reale". Tuttavia, grazie ai lavori di matematici come Gerolamo Cardano (che incontrò soluzioni complesse già nel XVI secolo), Rafael Bombelli (che formulò regole operative per queste quantità) ed Euler e Gauss (che ne formalizzarono la notazione e la rappresentazione geometrica), i numeri immaginari sono oggi considerati parte integrante del sistema numerico. Il nome non deve trarre in inganno: i è un numero con proprietà precise e applicazioni concrete, tanto valido quanto gli altri numeri.

Conclusione

I numeri immaginari ampliano il concetto di numero e permettono di risolvere problemi impossibili nel solo insieme dei numeri reali. Combinati con i numeri reali formano i numeri complessi che sono uno strumento potente e onnipresente in matematica, fisica e ingegneria.

Domande e risposte

D: Che cos'è un numero immaginario?

R: Un numero immaginario è una combinazione di un numero reale e dell'unità immaginaria, denominata i, dove i è definito come i^2=-1.

D: In che modo i numeri immaginari sono diversi dai numeri reali negativi?

R: I numeri immaginari sono definiti separatamente dai numeri reali negativi, in quanto sono la radice quadrata di un numero reale negativo (invece di un numero reale positivo). Questo non è possibile con i numeri reali, in quanto non esiste un numero reale che si moltiplica per se stesso per ottenere un numero negativo.

D: Che cosa significa quando diciamo "andare a est di -i miglia"?

R: Quando diciamo "vai a est di -i miglia", significa la stessa cosa che se avessimo detto "vai a sud di 1 miglio".

D: Come si sommano due numeri immaginari?

R: Per sommare due numeri immaginari, può dire "vai a est di un miglio e a nord di un miglio". La moltiplicazione di due numeri immaginari è simile alla moltiplicazione di un numero positivo con un numero negativo.

D: Cosa sono i numeri complessi?

R: I numeri complessi sono numeri misti composti da componenti reali e immaginari, come 2+3i. Si creano quando si sommano un componente reale e uno immaginario.

D: In quali campi i matematici utilizzano il concetto di unità immaginaria?

R: I matematici utilizzano il concetto di unità immaginaria in molti rami della scienza e dell'ingegneria, come l'ingegneria elettrica, la fisica quantistica, la fisica delle alte energie, ecc. Viene utilizzato anche nelle equazioni che non possono essere risolte senza di esso.

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