Un esempio di vita reale leggermente più difficile: L'altezza media degli uomini adulti negli Stati Uniti è di 70", con una deviazione standard di 3". Una deviazione standard di 3" significa che la maggior parte degli uomini (circa il 68%, assumendo una distribuzione normale) hanno un'altezza da 3" più alta a 3" più corta della media (67"-73") - una deviazione standard. Quasi tutti gli uomini (circa il 95%) hanno un'altezza da 6" più alta a 6" più corta della media (64"-76") - due deviazioni standard. Tre deviazioni standard includono tutti i numeri per il 99,7% della popolazione campione studiata. Questo è vero se la distribuzione è normale (a forma di campana).
Se la deviazione standard fosse zero, allora tutti gli uomini sarebbero esattamente alti 70". Se la deviazione standard fosse di 20", allora alcuni uomini sarebbero molto più alti o molto più bassi della media, con una gamma tipica di circa 50"-90".
Per un altro esempio, ognuno dei tre gruppi {0, 0, 14, 14}, {0, 6, 8, 14} e {6, 6, 8, 8} ha una media di 7. Ma le loro deviazioni standard sono 7, 5 e 1. Il terzo gruppo ha una deviazione standard molto più piccola degli altri due perché i suoi numeri sono tutti vicini a 7. L'idea di base è che la deviazione standard ci dice quanto lontano dalla media tende ad essere il resto dei numeri. Avrà le stesse unità dei numeri stessi. Se, per esempio, il gruppo {0, 6, 8, 14} è l'età di un gruppo di quattro fratelli in anni, la media è 7 anni e la deviazione standard è 5 anni.
La deviazione standard può servire come misura dell'incertezza. Nella scienza, per esempio, la deviazione standard di un gruppo di misure ripetute aiuta gli scienziati a sapere quanto sono sicuri del numero medio. Quando si decide se le misure di un esperimento concordano con una previsione, la deviazione standard di queste misure è molto importante. Se il numero medio degli esperimenti è troppo lontano dal numero previsto (con la distanza misurata in deviazioni standard), allora la teoria testata potrebbe non essere giusta. Vedi intervallo di predizione.
Esempi di applicazione
L'utilità di capire la deviazione standard di un insieme di valori sta nel sapere quanto è grande la differenza dalla "media" (media).
Meteo
Come semplice esempio, si consideri la media delle alte temperature giornaliere per due città, una nell'entroterra e una vicino all'oceano. È utile capire che la gamma di temperature massime giornaliere per le città vicine all'oceano è più piccola di quella delle città dell'entroterra. Queste due città possono avere la stessa temperatura media giornaliera. Tuttavia, la deviazione standard dell'alta temperatura giornaliera per la città costiera sarà inferiore a quella della città interna.
Sport
Un altro modo di vedere la cosa è considerare le squadre sportive. In qualsiasi sport, ci saranno squadre che sono brave in alcune cose e non in altre. Le squadre che sono classificate più in alto non mostreranno molte differenze di abilità. Fanno bene nella maggior parte delle categorie. Più bassa è la deviazione standard della loro abilità in ogni categoria, più sono equilibrate e coerenti. Le squadre con una deviazione standard più alta, tuttavia, saranno meno prevedibili. Una squadra che di solito è cattiva nella maggior parte delle categorie avrà una deviazione standard bassa. Una squadra che di solito è buona nella maggior parte delle categorie avrà anche una bassa deviazione standard. Tuttavia, una squadra con un'alta deviazione standard potrebbe essere il tipo di squadra che segna molti punti (attacco forte) ma che lascia anche che l'altra squadra segni molti punti (difesa debole).
Cercare di sapere in anticipo quali squadre vinceranno può includere guardare le deviazioni standard delle varie "statistiche" di squadra. I numeri che sono diversi da quelli attesi possono far combaciare i punti di forza con quelli di debolezza per mostrare quali ragioni possono essere più importanti per sapere quale squadra vincerà.
Nelle corse, si misura il tempo che un pilota impiega per finire ogni giro della pista. Un pilota con una bassa deviazione standard dei tempi sul giro è più costante di un pilota con una deviazione standard più alta. Questa informazione può essere usata per capire come un pilota può ridurre il tempo per finire un giro.
Soldi
In denaro, la deviazione standard può significare il rischio che un prezzo salga o scenda (azioni, obbligazioni, proprietà, ecc.). Può anche significare il rischio che un gruppo di prezzi salga o scenda (fondi comuni gestiti attivamente, fondi comuni indicizzati o ETF). Il rischio è una ragione per prendere decisioni su cosa comprare. Il rischio è un numero che le persone possono usare per sapere quanto denaro possono guadagnare o perdere. Man mano che il rischio aumenta, il rendimento di un investimento può essere maggiore del previsto (la deviazione standard "più"). Tuttavia, un investimento può anche perdere più soldi del previsto (la deviazione standard "meno").
Per esempio, una persona doveva scegliere tra due azioni. Il titolo A negli ultimi 20 anni ha avuto un rendimento medio del 10%, con una deviazione standard di 20 punti percentuali (pp). Il titolo B negli ultimi 20 anni ha avuto un rendimento medio del 12% ma una deviazione standard più alta di 30 punti percentuali. Pensando al rischio, la persona può decidere che il titolo A è la scelta più sicura. Anche se potrebbe non guadagnare molto, probabilmente non perderà neanche molti soldi. La persona potrebbe pensare che la media più alta di 2 punti del titolo B non valga la deviazione standard aggiuntiva di 10 pp (maggiore rischio o incertezza del rendimento atteso).
Regole per i numeri normalmente distribuiti
La maggior parte delle equazioni matematiche per la deviazione standard presuppone che i numeri siano distribuiti normalmente. Ciò significa che i numeri sono distribuiti in un certo modo su entrambi i lati del valore medio. La distribuzione normale è anche chiamata distribuzione gaussiana perché è stata scoperta da Carl Friedrich Gauss. Viene spesso chiamata curva a campana perché i numeri si distribuiscono a forma di campana su un grafico.
I numeri non sono normalmente distribuiti se sono raggruppati da una parte o dall'altra del valore medio. I numeri possono essere sparsi ed essere ancora normalmente distribuiti. La deviazione standard dice quanto ampiamente i numeri sono distribuiti.
