Ipotesi del continuo
L'ipotesi del continuo è un'ipotesi secondo cui non esiste un insieme che sia più grande di quello dei numeri naturali e più piccolo di quello dei numeri reali. Georg Cantor dichiarò questa ipotesi nel 1877.
Ci sono infiniti numeri naturali, la cardinalità dell'insieme dei numeri naturali è infinita. Questo è vero anche per l'insieme dei numeri reali, ma ci sono più numeri reali che numeri naturali. Diciamo che i numeri naturali hanno cardinalità infinita e i numeri reali hanno cardinalità infinita, ma la cardinalità dei numeri reali è maggiore della cardinalità dei numeri naturali.
Questa ipotesi è il primo problema della lista dei 23 problemi che David Hilbert pubblicò nel 1900. Kurt Gödel ha dimostrato nel 1939 che l'ipotesi non può essere falsificata usando la teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel. La teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel è la teoria degli insiemi comunemente usata in matematica. Paul Cohen dimostrò negli anni '60 che la teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel non può essere usata nemmeno per dimostrare l'ipotesi del continuo. Per questo, Cohen ha ricevuto la medaglia Fields.
Domande e risposte
D: Che cos'è l'ipotesi del continuum?
R: L'ipotesi del continuum è un'ipotesi secondo la quale non esiste un insieme che sia più grande di quello dei numeri naturali e più piccolo di quello dei numeri reali.
D: Chi ha affermato l'ipotesi del continuo e quando?
R: Georg Cantor ha affermato l'ipotesi del continuo nel 1877.
D: Esistono infiniti numeri naturali?
R: Sì, ci sono infiniti numeri naturali.
D: Qual è la cardinalità dell'insieme dei numeri naturali?
R: La cardinalità dell'insieme dei numeri naturali è infinita.
D: Ci sono più numeri reali che numeri naturali?
R: Sì, ci sono più numeri reali che numeri naturali.
D: L'ipotesi del continuo può essere falsificata utilizzando la teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel?
R: Kurt Gödel ha dimostrato nel 1939 che l'ipotesi non può essere falsificata utilizzando la teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel.
D: Chi ha dimostrato che la teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel non può essere utilizzata per dimostrare l'ipotesi del continuo?
R: Paul Cohen ha dimostrato negli anni '60 che la teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel non può essere utilizzata per dimostrare l'ipotesi del continuo.
