La grandezza di un oggetto matematico è la proprietà che permette di confrontarlo con altri oggetti dello stesso tipo, cioè di dire se è «più grande», «uguale» o «più piccolo». In termini formali, la grandezza è una caratteristica misurabile che può essere ordinata e — quando è possibile — assegnata a un valore numerico tramite una misura o un'unità scelta.

In linguaggio matematico si dice che una grandezza definisce un ordinamento e, spesso, una struttura aggiuntiva (come un'operazione di somma o la possibilità di moltiplicare per scalari positivi) sulla classe degli oggetti considerati. Queste proprietà permettono di confrontare, misurare e operare con le grandezze in modo coerente.

Gli antichi greci distinguevano diversi tipi di grandezza e svilupparono teorie precise per confrontarle. Tra le grandezze considerate troviamo:

  • Frazioni (positive)
  • segmenti di linea (ordinati per lunghezza)
  • Figure piane (ordinate per area)
  • Solidi (ordinati per volume)
  • Angoli (ordinati per grandezza angolare)

Spiegazioni e osservazioni sui tipi di grandezza

- Frazioni (o rapporti): in senso più generale, la nozione di rapporto o frazione è il modo con cui si confrontano due grandezze della stessa specie (ad esempio due lunghezze). Gli antichi svilupparono una teoria dei rapporti per poter confrontare grandezze anche quando non erano misurabili con lo stesso «unità» comune.

- Segmenti di linea (lunghezza): la lunghezza è la grandezza associata a segmenti. Due segmenti si confrontano usando la lunghezza; si può definire la somma concatenando segmenti e la moltiplicazione per numeri positivi come dilatazione. La scoperta dell'incommensurabilità (es. diagonale del quadrato rispetto al lato) portò alla formalizzazione della nozione di numero reale come estensione dei rapporti razionali.

- Figure piane (area): l'area misura l'estensione bidimensionale delle figure piane. L'area è additiva su regioni disgiunte: l'area dell'unione di due regioni disgiunte è la somma delle aree. Le unità comuni sono il metro quadrato, il centimetro quadrato, ecc.

- Solidi (volume): il volume misura l'estensione tridimensionale. Anche il volume è un esempio di misura con proprietà di additività (sul senso di partizionare il solido in parti disgiunte). Le unità tipiche sono il metro cubo, il litro (per liquide), ecc.

- Angoli: la grandezza angolare confronta ampiezze di angoli; si misura in gradi, radianti o gradi sessagesimali ed è anch'essa soggetta a operazioni come somma (con opportuni vincoli) e sottrazione. Si possono considerare angoli «orientati» per introdurre segni (positivi/negativi).

Confronti, isomorfismi e limitazioni

Gli antichi greci avevano dimostrato che alcune classi di grandezza non potevano essere considerate «la stessa cosa» nel senso di esistere un'isomorfismo che preservasse ordine e operazioni. Per esempio, la struttura dei segmenti con la loro lunghezza non è isomorfa in modo naturale alla struttura delle aree: lunghezze e aree hanno dimensioni differenti e non si possono confrontare numericamente senza introdurre funzioni specifiche (come l'integrazione o la scelta di una unità di misura che relazioni le dimensioni).

La teoria dei rapporti di Eudoxo (formalizzata in Euclide, Libro V) affronta il confronto tra grandezze anche quando non esiste un'unità di misura commensurabile, spiegando come definire uguaglianza e disuguaglianza di rapporti anche in presenza di incommensurabilità (rapporto irrazionale fra lunghezze).

Proprietà matematiche e misurazione

Alcune proprietà comuni delle grandezze geometriche e misurabili sono:

  • Ordinamento: permette di dire se una grandezza è minore, uguale o maggiore di un'altra della stessa specie;
  • Additività: per molte grandezze (aree, volumi, lunghezze in certe costruzioni) la misura è additiva su parti disgiunte;
  • Omogeneità: non è significativo sommare grandezze di dimensioni diverse (non ha senso sommare direttamente una lunghezza e un'area); le grandezze formano classi omogenee (dimensioni) tra le quali si possono effettuare confronti;
  • Unità e misura: per assegnare numeri alle grandezze si sceglie un'unità (es. 1 m, 1 m², 1 m³, 1°) e si definisce una funzione di misura che associa a ogni oggetto un numero non negativo.

Zero, negatività e generalizzazioni moderne

Storicamente i greci non consideravano grandezze negative: lo zero era considerato la grandezza più piccola (o l'assenza di grandezza) e non si parlava di grandezze «sottratte» al di sotto dello zero. Nella matematica moderna la situazione è più sfumata:

  • per molte grandezze geometriche (area, volume, lunghezza) si usa una misura sempre non negativa; lo zero rappresenta l'oggetto nullo (segmento di lunghezza 0, regione vuota, volume nullo);
  • per alcune applicazioni si introducono grandezze orientate o «dirette», come i segmenti orientati e gli angoli orientati, che possono assumere segni e quindi essere trattati come quantità negative o positive secondo l'orientamento scelto;
  • in analisi e teoria della misura si definiscono misure che possono essere finite o infinite, e si usano spazi vettoriali e strutture algebriche (ad es. spazi normati, misure firmate) per estendere la nozione classica di grandezza.

Note sull'uso pratico

In geometria, fisica e ingegneria la distinzione delle grandezze è essenziale: prima di sommare, confrontare o convertire misure è necessario verificare la compatibilità dimensionale (ad es. non si somma una lunghezza a un'area). Le unità di misura e la teoria dimensionale sono gli strumenti che garantiscono coerenza nelle operazioni su grandezze diverse.

In sintesi, la nozione di grandezza in matematica comprende l'idea di ordinamento, misura e operazioni sui tipi omogenei (lunghezze, aree, volumi, angoli ecc.). La storia matematica, a partire dagli antichi greci, ha portato alla definizione rigorosa di queste nozioni e alle estensioni moderne (misure, spazi numerici, grandezze orientate) che utilizziamo oggi.