Funzioni elementari
Sia f(x):ℝ→ℝ una funzione reale y=f(x) di un argomento reale x. (Ciò significa che sia l'input che l'output sono numeri).
- Significato grafico: La funzione f è una suriezione se ogni linea orizzontale interseca il grafico di f in almeno un punto.
- Significato analitico: La funzione f è una suriezione se per ogni numero reale yo possiamo trovare almeno un numero reale xo tale che yo=f(xo).
Trovare una pre-immagine xo per un dato yo è equivalente a entrambe le domande:
- L'equazione f(x)-yo=0 ha una soluzione? o
- La funzione f(x)-yo ha una radice?
In matematica, possiamo trovare radici esatte (analitiche) solo di polinomi di primo, secondo (e terzo) grado. Troviamo le radici di tutte le altre funzioni approssimativamente (numericamente). Questo significa che una prova formale della surjettività è raramente diretta. Quindi le discussioni che seguono sono informali.
Esempio: La funzione lineare di una linea inclinata è onto. Cioè, y=ax+b dove a≠0 è una suriezione. (È anche un'iniezione e quindi una biiezione).
Prova: Sostituire yo nella funzione e risolvere per x. Poiché a≠0 otteniamo x= (yo-b)/a. Questo significa che xo=(yo-b)/a è una pre-immagine di yo. Questo prova che la funzione y=ax+b dove a≠0 è una suriezione. (Poiché c'è esattamente una preimmagine, anche questa funzione è un'iniezione).
Esempio pratico: y= -2x+4. Qual è la pre-immagine di y=2? Soluzione: Qui a= -2, cioè a≠0 e la domanda è: Per quale x è y=2? Sostituiamo y=2 nella funzione. Otteniamo x=1, cioè y(1)=2. Quindi la risposta è: x=1 è la pre-immagine di y=2.
Esempio: Il polinomio cubico (di terzo grado) f(x)=x3-3x è una suriezione.
Discussione: L'equazione cubica x3-3x-yo=0 ha coefficienti reali (a3=1, a2=0, a1=-3, a0=-yo). Ogni tale equazione cubica ha almeno una radice reale. Poiché il dominio del polinomio è ℝ, ciò significa che c'è almeno una pre-immagine xo nel dominio. Cioè, (x0)3-3x0-yo=0. Quindi la funzione è una suriezione. (Tuttavia, questa funzione non è un'iniezione. Per esempio, yo=2 ha 2 preimmagini: x=-1 e x=2. Infatti, ogni y, -2≤y≤2 ha almeno 2 preimmagini).
Esempio: La funzione quadratica f(x) = x2 non è una suriezione. Non esiste una x tale che x2 = -1. L'intervallo di x² è [0,+∞) , cioè l'insieme dei numeri non negativi. (Inoltre, questa funzione non è un'iniezione).
Nota: Si può trasformare una funzione non soggettiva in una suriezione restringendo il suo codominio agli elementi del suo intervallo. Per esempio, la nuova funzione fN(x):ℝ → [0,+∞) dove fN(x) = x2 è una funzione surgiettiva. (Non è la stessa cosa della restrizione di una funzione che restringe il dominio!)
Esempio: La funzione esponenziale f(x) = 10x non è una suriezione. L'intervallo di 10x è (0,+∞), cioè l'insieme dei numeri positivi. (Questa funzione è un'iniezione).
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Suriezione. f(x):ℝ→ℝ (e iniezione) | 
Suriezione. f(x):ℝ→ℝ (non è un'iniezione) | 
Non è una suriezione. f(x):ℝ→ℝ (né un'iniezione) |
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Non è una suriezione. f(x):ℝ→ℝ (ma è un'iniezione) | 
Suriezione. f(x):(0,+∞)→ℝ (e iniezione) | 
Suriezione. z:ℝ²→ℝ, z=y. (L'immagine mostra che la pre-immagine di z=2 è la linea y=2). |
Altri esempi con funzioni a valore reale
Esempio: La funzione logaritmica base 10 f(x):(0,+∞)→ℝ definita da f(x)=log(x) o y=log10(x) è una suriezione (e un'iniezione). (Questa è la funzione inversa di 10x).
- La proiezione di un prodotto cartesiano A × B su uno dei suoi fattori è una suriezione.
Esempio: La funzione f((x,y)):ℝ²→ℝ definita da z=y è una suriezione. Il suo grafico è un piano nello spazio tridimensionale. La preimmagine di zo è la retta y=zo nel piano x0y.
- Nei giochi 3D, lo spazio tridimensionale è proiettato su uno schermo bidimensionale con una suriezione.
