Funzione surgiettiva
In matematica, una funzione surgiettiva o onto è una funzione f : A → B con la seguente proprietà. Per ogni elemento b nel codominio B c'è almeno un elemento a nel dominio A tale che f(a)=b. Questo significa che il campo e il codominio di f sono lo stesso insieme.
Il termine suriezione e i termini correlati iniezione e biiezione sono stati introdotti dal gruppo di matematici che si chiamava Nicholas Bourbaki. Negli anni '30, questo gruppo di matematici pubblicò una serie di libri sulla matematica moderna avanzata. Il prefisso francese sur significa sopra o su ed è stato scelto perché una funzione surgiettiva mappa il suo dominio sul suo codominio.
Proprietà di base
Formalmente:
f : A → B {\displaystyle f:A\destra B}
è una funzione surgiettiva se ∀ b ∈ B ∃ a ∈ A {displaystyle \per ogni b\ in B\,\\ esiste a\ in A} tale che 
f ( a ) = b . {\an8}(f(a)=b,. } 
L'elemento b {displaystyle b}
è detto immagine dell'elemento a {displaystyle a}
.
- La definizione formale significa: Ogni elemento del codominio B è l'immagine di almeno un elemento del dominio A.
L'elemento a {displaystyle a} è detto una pre-immagine dell'elemento b {displaystyle b} .
- La definizione formale significa: Ogni elemento del codominio B ha almeno una pre-immagine nel dominio A.
Una pre-immagine non deve essere unica. Nell'immagine in alto, sia {X} che {Y} sono preimmagini dell'elemento {1}. È importante solo che ci sia almeno una preimmagine. (Vedi anche: Funzione iniettiva, Funzione biiettiva)
Esempi
Funzioni elementari
Sia f(x):ℝ→ℝ una funzione reale y=f(x) di un argomento reale x. (Ciò significa che sia l'input che l'output sono numeri).
- Significato grafico: La funzione f è una suriezione se ogni linea orizzontale interseca il grafico di f in almeno un punto.
- Significato analitico: La funzione f è una suriezione se per ogni numero reale yo possiamo trovare almeno un numero reale xo tale che yo=f(xo).
Trovare una pre-immagine xo per un dato yo è equivalente a entrambe le domande:
- L'equazione f(x)-yo=0 ha una soluzione? o
- La funzione f(x)-yo ha una radice?
In matematica, possiamo trovare radici esatte (analitiche) solo di polinomi di primo, secondo (e terzo) grado. Troviamo le radici di tutte le altre funzioni approssimativamente (numericamente). Questo significa che una prova formale della surjettività è raramente diretta. Quindi le discussioni che seguono sono informali.
Esempio: La funzione lineare di una linea inclinata è onto. Cioè, y=ax+b dove a≠0 è una suriezione. (È anche un'iniezione e quindi una biiezione).
Prova: Sostituire yo nella funzione e risolvere per x. Poiché a≠0 otteniamo x= (yo-b)/a. Questo significa che xo=(yo-b)/a è una pre-immagine di yo. Questo prova che la funzione y=ax+b dove a≠0 è una suriezione. (Poiché c'è esattamente una preimmagine, anche questa funzione è un'iniezione).
Esempio pratico: y= -2x+4. Qual è la pre-immagine di y=2? Soluzione: Qui a= -2, cioè a≠0 e la domanda è: Per quale x è y=2? Sostituiamo y=2 nella funzione. Otteniamo x=1, cioè y(1)=2. Quindi la risposta è: x=1 è la pre-immagine di y=2.
Esempio: Il polinomio cubico (di terzo grado) f(x)=x3-3x è una suriezione.
Discussione: L'equazione cubica x3-3x-yo=0 ha coefficienti reali (a3=1, a2=0, a1=-3, a0=-yo). Ogni tale equazione cubica ha almeno una radice reale. Poiché il dominio del polinomio è ℝ, ciò significa che c'è almeno una pre-immagine xo nel dominio. Cioè, (x0)3-3x0-yo=0. Quindi la funzione è una suriezione. (Tuttavia, questa funzione non è un'iniezione. Per esempio, yo=2 ha 2 preimmagini: x=-1 e x=2. Infatti, ogni y, -2≤y≤2 ha almeno 2 preimmagini).
Esempio: La funzione quadratica f(x) = x2 non è una suriezione. Non esiste una x tale che x2 = -1. L'intervallo di x² è [0,+∞) , cioè l'insieme dei numeri non negativi. (Inoltre, questa funzione non è un'iniezione).
Nota: Si può trasformare una funzione non soggettiva in una suriezione restringendo il suo codominio agli elementi del suo intervallo. Per esempio, la nuova funzione fN(x):ℝ → [0,+∞) dove fN(x) = x2 è una funzione surgiettiva. (Non è la stessa cosa della restrizione di una funzione che restringe il dominio!)
Esempio: La funzione esponenziale f(x) = 10x non è una suriezione. L'intervallo di 10x è (0,+∞), cioè l'insieme dei numeri positivi. (Questa funzione è un'iniezione).
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Suriezione. f(x):ℝ→ℝ (e iniezione) |
Suriezione. f(x):ℝ→ℝ (non è un'iniezione) |
Non è una suriezione. f(x):ℝ→ℝ (né un'iniezione) |
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Non è una suriezione. f(x):ℝ→ℝ (ma è un'iniezione) |
Suriezione. f(x):(0,+∞)→ℝ (e iniezione) |
Suriezione. z:ℝ²→ℝ, z=y. (L'immagine mostra che la pre-immagine di z=2 è la linea y=2). |
Altri esempi con funzioni a valore reale
Esempio: La funzione logaritmica base 10 f(x):(0,+∞)→ℝ definita da f(x)=log(x) o y=log10(x) è una suriezione (e un'iniezione). (Questa è la funzione inversa di 10x).
- La proiezione di un prodotto cartesiano A × B su uno dei suoi fattori è una suriezione.
Esempio: La funzione f((x,y)):ℝ²→ℝ definita da z=y è una suriezione. Il suo grafico è un piano nello spazio tridimensionale. La preimmagine di zo è la retta y=zo nel piano x0y.
- Nei giochi 3D, lo spazio tridimensionale è proiettato su uno schermo bidimensionale con una suriezione.
Pagine correlate
Domande e risposte
D: Che cos'è una funzione proiettiva in matematica?
R: In matematica, una funzione proiettiva è una funzione f: A → B con la proprietà che per ogni elemento b nel codominio B, esiste almeno un elemento a nel dominio A tale che f(a)=b.
D: Qual è l'importanza di una funzione proiettiva in matematica?
R: Una funzione proiettiva assicura che nessun elemento del codominio sia non mappato e che l'intervallo e il codominio di f siano lo stesso insieme.
D: Qual è l'origine del termine suriezione?
R: Il termine suriezione è stato introdotto dal gruppo di matematici chiamato Nicholas Bourbaki.
D: Qual è il significato del prefisso francese sur in surjective?
R: Il prefisso francese sur significa sopra o su.
D: Perché è stato scelto il termine "soggettivo" per questo tipo di funzione?
R: Il termine "surjective" è stato scelto per questo tipo di funzione, perché una funzione surjective mappa il suo dominio sul suo codominio.
D: Chi ha pubblicato una serie di libri sulla matematica moderna avanzata negli anni '30?
R: Il gruppo di matematici chiamato Nicholas Bourbaki ha pubblicato una serie di libri sulla matematica moderna avanzata negli anni '30.
D: Cosa sono l'iniezione e la biiezione in matematica?
R: L'iniezione e la biiezione sono termini correlati alla suriezione in matematica. Una funzione di iniezione assicura che non ci siano due elementi nel dominio che si sovrappongono allo stesso elemento nel codominio. Una funzione di biiezione è sia soggettiva che iniettiva.
