Funzione iniettiva

Autore: Leandro Alegsa Data di creazione: 20 aprile 2021

In matematica, una funzione iniettiva è una funzione f : A → B con la seguente proprietà. Per ogni elemento b nel codominio B c'è al massimo un elemento a nel dominio A tale che f(a)=b.

Il termine iniezione e i termini correlati suriezione e biiezione sono stati introdotti da Nicholas Bourbaki. Negli anni '30, lui e un gruppo di altri matematici pubblicarono una serie di libri sulla matematica moderna avanzata.

Una funzione iniettiva è spesso chiamata funzione 1-1. Tuttavia, una corrispondenza 1-1 è una funzione biettiva (sia iniettiva che surgiettiva). Questo può confondere, quindi fate attenzione.

Proprietà di base

Formalmente:

f : A → B {displaystyle f:A {diritto B} $f:A\rightarrow B$ è una funzione iniettiva se ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , a 1 ≠ a 2 ⇒ f ( a 1 ) ≠ f ( a 2 ) {displaystyle \per tutti a_{1},\,a_{2},\ in A,\,\,\,\,a_{1}neq a_{2},\,\ freccia destra \,\,f(a_{1})\neq f(a_{2})} $\forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,a_{1}\neq a_{2}\,\,\Rightarrow \,\,f(a_{1})\neq f(a_{2})$ o equivalentemente

f : A → B {displaystyle f:A {diritto B} $f:A\rightarrow B$ è una funzione iniettiva se ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , f ( a 1 ) = f ( a 2 ) ⇒ a 1 = a 2 {displaystyle \per ogni a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\diritto \,\,a_{1}=a_{2} $\forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\Rightarrow \,\,a_{1}=a_{2}$

L'elemento a {displaystyle a} è detto una pre-immagine dell'elemento b {displaystyle b} se $b$ f ( a ) = b {displaystyle f(a)=b} $f(a)=b$ ogni elemento b in B.

Cardinalità

La cardinalità è il numero di elementi di un insieme. La cardinalità di A={X,Y,Z,W} è 4. Scriviamo #A=4.

Se la cardinalità del codominio è inferiore alla cardinalità del dominio, la funzione non può essere un'iniezione. (Per esempio, non c'è modo di mappare 6 elementi in 5 elementi senza un duplicato).

Esempi

Funzioni elementari

Sia f(x):ℝ→ℝ una funzione reale y=f(x) di un argomento reale x. (Questo significa che sia l'input che l'output sono numeri reali).

Significato grafico: La funzione f è un'iniezione se ogni linea orizzontale interseca il grafico di f al massimo in un punto.
Significato algebrico: La funzione f è un'iniezione se f(xo)=f(x1) significa xo=x1.

Esempio: La funzione lineare di una linea inclinata è 1-1. Cioè, y=ax+b dove a≠0 è un'iniezione. (È anche una suriezione e quindi una biiezione).

Prova: Sia xo e x1 numeri reali. Supponiamo che la retta porti questi due valori di x allo stesso valore di y. Questo significa a-xo+b=a-x1+b. Sottraiamo b da entrambi i lati. Otteniamo a-xo=a-x1. Ora dividi entrambi i lati per a (ricorda a≠0). Otteniamo xo=x1. Così abbiamo dimostrato la definizione formale e la funzione y=ax+b dove a≠0 è un'iniezione.

Esempio: La funzione polinomiale di terzo grado: f(x)=x3 è un'iniezione. Tuttavia, la funzione polinomiale di terzo grado: f(x)=x3 -3x non è un'iniezione.

Discussione 1: Qualsiasi linea orizzontale interseca il grafico di

f(x)=x3 esattamente una volta. (Inoltre, è una suriezione).

Discussione 2. Qualsiasi linea orizzontale tra y=-2 e y=2 interseca il grafico in tre punti, quindi questa funzione non è un'iniezione. (Tuttavia, è una suriezione).

Esempio: La funzione quadratica f(x) = x2 non è un'iniezione.

Discussione: Qualsiasi linea orizzontale y=c dove c>0 interseca il grafico in due punti. Quindi questa funzione non è un'iniezione. (Inoltre, non è una suriezione).

Nota: si può trasformare una funzione non iniettiva in una funzione iniettiva eliminando una parte del dominio. Questo si chiama restringere il dominio. Per esempio, limitiamo il dominio di f(x)=x² ai numeri non negativi (numeri positivi e zero). Definire

f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → R {displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x):[0,+\infty )\rightarrow \mathbf {R} } dove $f_{/[0,+\infty )}(x):[0,+\infty )\rightarrow \mathbf {R}$ f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) = x 2 {displaystyle f_{/[0,+infty )}(x)=x^{2} $f_{/[0,+\infty )}(x)=x^{2}$

Questa funzione è ora un'iniezione. (Vedere anche restrizione di una funzione).

Esempio: La funzione esponenziale f(x) = 10x è un'iniezione. (Tuttavia, non è una suriezione).

Discussione: Qualsiasi linea orizzontale interseca il grafico al massimo in un punto. Le rette orizzontali y=c dove c>0 tagliano il grafico esattamente in un punto. Le rette orizzontali y=c dove c≤0 non tagliano il grafico in nessun punto.

Nota: il fatto che una funzione esponenziale sia iniettiva può essere usato nei calcoli.

a x 0 = a x 1 ⇒ x 0 = x 1 , a > 0 {displaystyle a^{x_{0}=a^{x_{1}},\a freccia destra \a,x_{0}=x_{1},\a,a>0} $a^{x_{0}}=a^{x_{1}}\,\,\Rightarrow \,\,x_{0}=x_{1},\,a>0$

Esempio: 100 = 10 x - 3 ⇒ 2 = x - 3 ⇒ x = 5 {displaystyle 100=10^{x-3},⇒ freccia destra ⇒ ⇒ x=5} $100=10^{x-3}\,\,\Rightarrow \,\,2=x-3\,\,\Rightarrow \,\,x=5$

Iniezione: nessuna linea orizzontale interseca più di un punto del grafico

Iniezione. f(x):ℝ→ℝ (e suriezione)

Non è un'iniezione. f(x):ℝ→ℝ (è una suriezione)

Non è un'iniezione. f(x):ℝ→ℝ (non è una suriezione)

Iniezione. f(x):ℝ→ℝ (non suriezione)

Iniezione. f(x):(0,+∞)→ℝ (e suriezione)

Altri esempi

Esempio: La funzione logaritmica base 10 f(x):(0,+∞)→ℝ definita da f(x)=log(x) o y=log10(x) è un'iniezione (e una suriezione). (Questa è la funzione inversa di 10x).

Esempio: La funzione f:ℕ→ℕ che mappa ogni numero naturale n a 2n è un'iniezione. Ogni numero pari ha esattamente una preimmagine. Ogni numero dispari non ha una preimmagine.

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Domande e risposte

D: Che cos'è una funzione iniettiva in matematica?

R: Una funzione iniettiva è una funzione f: A → B con la proprietà che elementi distinti del dominio corrispondono a elementi distinti del codominio.

D: Qual è la relazione tra gli elementi del dominio e del codominio di una funzione iniettiva?

R: Per ogni elemento b nel codominio B, esiste al massimo un elemento a nel dominio A tale che f(a)=b.

D: Chi ha introdotto i termini iniezione, suriezione e biiezione?

R: Nicholas Bourbaki e un gruppo di altri matematici hanno introdotto i termini iniezione, suriezione e biiezione.

D: Cosa significa funzione iniettiva?

R: Una funzione iniettiva significa che ogni elemento del dominio A corrisponde a un unico elemento nel codominio B.

D: In che modo una funzione iniettiva è diversa da una corrispondenza 1-1?

R: Una funzione iniettiva è spesso chiamata funzione 1-1 (uno-a-uno), ma si distingue da una corrispondenza 1-1, che è una funzione biunivoca (sia iniettiva che surgiva).

D: Qual è la proprietà di una funzione iniettiva?

R: La proprietà di una funzione iniettiva è che elementi distinti del dominio corrispondono a elementi distinti del codominio.

D: Qual è il significato delle funzioni iniettive in matematica?

R: Le funzioni iniettive svolgono un ruolo importante in molti campi matematici, tra cui la topologia, l'analisi e l'algebra, grazie alla loro proprietà di far corrispondere elementi distinti del dominio a elementi distinti del codominio.