Varietà algebrica
In matematica, le varietà algebriche (chiamate anche varietà) sono uno degli oggetti centrali dello studio della geometria algebrica. I primi definitoni della varietà algebrica la definivano come l'insieme delle soluzioni di un sistema di equazioni polinomiali, sopra i numeri reali o complessi. Le moderne definizioni di una varietà algebrica generalizzano questa nozione mentre cercano di preservare l'intuizione geometrica dietro la definizione originale.
Le convenzioni relative alla definizione di una varietà algebrica sono diverse: Alcuni autori richiedono che una "varietà algebrica" sia, per definizione, irriducibile (il che significa che non è l'unione di due insiemi più piccoli che sono chiusi nella topologia di Zariski), mentre altri non lo sono. Quando si usa la precedente convenzione, le varietà algebriche non irriducibili sono chiamate set algebrici.
La nozione di varietà è simile a quella di molteplice. Una differenza tra una varietà e un collettore è che una varietà può avere punti singolari, mentre un collettore no. Comprovato intorno all'anno 1800, il teorema fondamentale dell'algebra stabilisce un legame tra algebra e geometria mostrando che un polinomio monico in una variabile con coefficienti complessi (un oggetto algebrico) è determinato dall'insieme delle sue radici (un oggetto geometrico). Generalizzando questo risultato, la Nullstellensatz di Hilbert fornisce una corrispondenza fondamentale tra gli ideali degli anelli polinomiali e gli insiemi algebrici. Utilizzando il Nullstellensatz e i risultati correlati, i matematici hanno stabilito una forte corrispondenza tra le domande sugli insiemi algebrici e le domande della teoria degli anelli. Questa corrispondenza è la specificità della geometria algebrica tra le altre sottoaree della geometria.
Il cubo contorto è una varietà algebrica proiettiva.
Domande e risposte
D: Cosa sono le varietà algebriche?
R: Le varietà algebriche sono uno degli oggetti centrali di studio della geometria algebrica. Sono definite come l'insieme delle soluzioni di un sistema di equazioni polinomiali, sui numeri reali o complessi.
D: In che modo le definizioni moderne differiscono dalla definizione originale?
R: Le definizioni moderne cercano di preservare l'intuizione geometrica alla base della definizione originale, pur generalizzandola. Alcuni autori richiedono che una "varietà algebrica" sia, per definizione, irriducibile (il che significa che non è l'unione di due insiemi più piccoli che sono chiusi nella topologia di Zariski), mentre altri non lo fanno.
D: Qual è la differenza tra una varietà e un manifold?
R: Una varietà può avere dei punti singolari, mentre un manifold non li ha.
D: Cosa stabilisce il teorema fondamentale dell'algebra?
R: Il teorema fondamentale dell'algebra stabilisce un legame tra l'algebra e la geometria, dimostrando che un polinomio monico in una variabile con coefficienti complessi (un oggetto algebrico) è determinato dall'insieme delle sue radici (un oggetto geometrico).
D: Cosa fornisce il Nullstellensatz di Hilbert?
R: Il Nullstellensatz di Hilbert fornisce una corrispondenza fondamentale tra gli ideali degli anelli polinomiali e gli insiemi algebrici.
D: Come è stata utilizzata questa corrispondenza dai matematici?
R: I matematici hanno stabilito una forte corrispondenza tra le domande sugli insiemi algebrici e le domande sulla teoria degli anelli, utilizzando questa corrispondenza.
D: Cosa rende quest'area particolare unica tra le altre sottoaree della geometria? R: Questa forte corrispondenza tra le domande sugli insiemi algebrici e le domande sulla teoria degli anelli rende quest'area particolare unica tra le altre sottoaree della geometria.
