Geometria algebrica
La geometria algebrica è una branca della matematica che studia le equazioni polinomiali. La geometria algebrica moderna si basa su tecniche più astratte di algebra astratta, in particolare l'algebra commutativa, con il linguaggio e i problemi della geometria.
I principali oggetti di studio della geometria algebrica sono le varietà algebriche, che sono manifestazioni geometriche di insiemi di soluzioni di sistemi di equazioni polinomiali. Esempi delle classi di varietà algebriche più studiate sono: le curve algebriche piane, che comprendono linee, cerchi, parabole, ellissi, iperboli, curve cubiche come curve ellittiche e curve quartiche come lemniscate, e ovali Cassini. Un punto del piano appartiene ad una curva algebrica se le sue coordinate soddisfano una data equazione polinomiale. Le domande fondamentali riguardano lo studio dei punti di particolare interesse come i punti singolari, i punti di inflessione e i punti all'infinito. Le domande più avanzate riguardano la topologia della curva e le relazioni tra le curve date da diverse equazioni.
La geometria algebrica occupa un posto centrale nella matematica moderna. I concetti che utilizza la collegano a campi così diversi come l'analisi complessa, la topologia e la teoria dei numeri. All'inizio, la geometria algebrica riguardava lo studio dei sistemi di equazioni polinomiali in diverse variabili. La geometria algebrica inizia nel punto in cui la soluzione delle equazioni si interrompe: In molti casi, trovare le proprietà che tutte le soluzioni di un dato insieme di equazioni hanno è più importante che trovare una soluzione particolare: questo porta in alcune delle aree più profonde di tutta la matematica, sia concettualmente che in termini di tecnica.
Nel XX secolo la geometria algebrica si è divisa in diverse sottozone.
- Il flusso principale della geometria algebrica è dedicato allo studio dei punti complessi delle varietà algebriche e più in generale ai punti con coordinate in un campo algebricamente chiuso.
- Lo studio dei punti di una varietà algebrica con coordinate nel campo dei numeri razionali o in un campo numerico è diventato geometria aritmetica (o più classicamente geometria diofantina), un sottocampo della teoria dei numeri algebrica.
- Lo studio dei punti reali di una varietà algebrica è il soggetto della geometria algebrica reale.
- Gran parte della teoria della singolarità è dedicata alle singolarità delle varietà algebriche.
- Quando i computer sono diventati più comuni, si è sviluppato un campo chiamato 'geomeria algebrica computazionale'. Si tratta dell'intersezione tra geometria algebrica e algebra computerizzata. Si occupa dello sviluppo di algoritmi e software per lo studio e la ricerca delle proprietà di varietà algebriche esplicitamente date.
Gran parte dello sviluppo del flusso principale della geometria algebrica nel XX secolo si è verificato all'interno di un quadro algebrico astratto, con crescente enfasi sulle proprietà "intrinseche" delle varietà algebriche non dipendenti da un particolare modo di incorporare la varietà in uno spazio di coordinate ambientali. Gli sviluppi della topologia, della geometria differenziale e della geometria complessa sono avvenuti in modo molto simile. Un risultato chiave di questa geometria algebrica astratta è la teoria dello schema di Grothendieck che permette di utilizzare la teoria dei covoni per studiare le varietà algebriche in un modo molto simile al suo uso nello studio dei collettori differenziali e analitici. Questo si ottiene estendendo la nozione di punto: nella geometria algebrica classica, un punto di una varietà affine può essere identificato, attraverso la Nullstellensatz di Hilbert, con un ideale massimo dell'anello di coordinate, mentre i punti dello schema affine corrispondente sono tutti ideali primari di questo anello. Ciò significa che un punto di tale schema può essere un punto abituale o una sottovarietà. Questo approccio permette anche un'unificazione del linguaggio e degli strumenti della geometria algebrica classica, che si occupa principalmente di punti complessi, e della teoria dei numeri algebrici. La prova di Wiles della congettura di lunga data chiamata l'ultimo teorema di Fermat è un esempio della potenza di questo approccio.
Questa superficie Togliatti è una superficie algebrica di grado cinque. L'immagine rappresenta una porzione del suo vero e proprio locus
Domande e risposte
D: Cos'è la geometria algebrica?
R: La geometria algebrica è una branca della matematica che studia le equazioni polinomiali.
D: Quali tecniche vengono utilizzate nella geometria algebrica moderna?
R: La geometria algebrica moderna utilizza tecniche più astratte dell'algebra astratta, come l'algebra commutativa, per affrontare il linguaggio e i problemi della geometria.
D: Che tipo di equazioni studia la geometria algebrica?
R: La geometria algebrica studia le equazioni polinomiali.
D: Come utilizza l'algebra astratta?
R: Utilizza l'algebra astratta, in particolare l'algebra commutativa, per comprendere il linguaggio e i problemi associati alla geometria.
D: Esiste un tipo specifico di linguaggio utilizzato in questo campo?
R: Sì, la geometria algebrica moderna utilizza il linguaggio e i problemi associati alla geometria.
D: Qual è l'impatto della tecnologia moderna su questo campo?
R: La tecnologia moderna ha permesso di utilizzare tecniche più avanzate dell'algebra astratta per studiare le equazioni polinomiali in questo campo.
