L'identità di Eulero

L'identità di Eulero, talvolta chiamata l'equazione di Eulero, è questa equazione:

e i π + 1 = 0 {\i\i}+1=0 $e^{i\pi }+1=0$

π π π π π π $\pi$ , pi

π ≈ 3,14159 {\fscx130\fscy130\frx40}- Stile di visualizzazione \pi \pi \fscx130\fscy130\frx40}- Circa 3,14159 $\pi \approx 3.14159$

e {\fscx130\fscy130\frx40}...in stile "e"... $e$ , Numero di Eulero

e ≈ 2.71828 {\an8} e ≈ 2.71828 {\an8} $e\approx 2.71828$

i {\an8} $i$ , unità immaginaria

ı = √ - 1 {\a6}}}1 {\a6}}Surdo {-1}} $\imath =\surd {-1}$

L'identità di Eulero prende il nome dal matematico svizzero Leonard Euler. Non è chiaro che l'abbia inventato lui stesso.

Gli intervistati di un sondaggio di Physics World hanno definito l'identità "l'affermazione matematica più profonda mai scritta", "misteriosa e sublime", "piena di bellezza cosmica" e "sconvolgente".

Prova matematica dell'identità di Eulero utilizzando la serie Taylor

Molte equazioni possono essere scritte come una serie di termini sommati. Questa si chiama serie di Taylor

La funzione Esponenziale e x $e^{x}$ {\fscx130\fscy130\frx40}Può essere scritta come la serie di Taylor

e x = 1 + x + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}=1+x+{x^{2} \sopra la 2a! +{x^{x^{3} # oltre 3! # # 3! # # - oltre i 4 punti # # -um # # -um # # -um # # -um # # -um # \E' stato un piacere conoscerti.} $e^{x}=1+x+{x^{2} \over {2!}}+{x^{3} \over {3!}}+{x^{4} \over {4!}}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}$

Anche Sine può essere scritto come

peccato x = x - x 3 3 3 ! + x 5 5 ! - − x 7 7 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 {\fscx130\fscy130\fscy130\frx40}=x-{x^{3}{3 \x22+{x^{5^{5} \oltre il 5!^^^{x^{7} # oltre 7!\code(010)^^n \code(011)^^ \Traduzione: Kikka.Muse, Kikka.Muse, Kikka.Muse, Kikka.Muse, Kikka.Muse, Kikka.Muse, Kikka.Muse, Kikka. $\sin {x}=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \over 7!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n+1)!}{x^{2n+1}}$

e Coseno come

cos x = 1 - x 2 2 2 ! + x 4 4 ! - − x 6 6 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n {\fscx130\fscy130\fscy130\frx40}}Stile di visualizzazione \fscx130\fscy130\frx40}Cos {x}1-{x^{2 # oltre il 2!# # 2!# \xx22-{x^{6}{x^{6} # oltre 6!\code(010)^^n \code(011)^^ \Traduzione: Kikka.Muse, Kikka.Muse, Kikka.Muse, Kikka.Muse, Kikka.Muse, Kikka.Muse, Kikka. $\cos {x}=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n)!}{x^{2n}}$

Qui, vediamo un modello che prende forma. e x {\a6}{x} $e^{x}$ sembra essere una somma di seno e coseno della serie Taylor, tranne che con tutti i segni cambiati in positivo. L'identità che stiamo effettivamente dimostrando è e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\i}{displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)} $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ .

Quindi, sul lato sinistro c'e' la scritta "e i x". $e^{ix}$ la cui serie Taylor è 1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 5 ! ⋯ {\an8}displaystyle 1+ix-{x^{2} oltre il 2!^^^{\i} # oltre il 3!# # 3!# \x22oltre 4!^^{ix^{5} # Oltre i 5 punti #} $1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots$

Possiamo vedere uno schema qui, che ogni secondo termine è un termine del seno, e che gli altri termini sono termini del coseno.

Sul lato destro c'è cos ( x ) + i peccato ( x ) {\an8} (*) $\cos(x)+i\sin(x)$ la cui serie di Taylor è la serie di coseno di Taylor, più volte la serie di seno di Taylor, che può essere mostrata come:

( 1 - x 2 2 2 ! + x 4 4 4 ! ⋯ ) + ( i x - i x 3 3 3 ! + i x 5 5 ! ⋯ ) {\an8}(1-{x^{2} \an8} \an8}{x^{4} \an8}{x-{x^{4} \an8}{x-{ix^{3} \an8}{ix^{5 \an8}{ix^{5!\an8}}{ix^{5!\an8}}} $(1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}\cdots )+(ix-{ix^{3} \over 3!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots )$

se li sommiamo insieme, abbiamo

1 + i x - x 2 2 2 ! - i x 3 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 5 ! ⋯ {\an8}displaystyle 1+ix-{x^{2} oltre il 2!^^^{\i} # oltre il 3!# # 3!# \x22oltre 4!^^{ix^{5} # Oltre i 5 punti #} $1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots$

Pertanto:

e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\a6}= ^{ix}= ^cos(x)+i\i\sin(x)}}e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\a6}{ix}= ^cos(x)+i\sin(x) $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$

Ora, se sostituiamo x con π {\fscx130\fscy130\frx40}. $\pi$ , abbiamo..

e i π = cos ( π ) + i peccato ( π ) {\a6}{i\i\i} stile di visualizzazione e^{i\pi }= \cos(\pi)+i\i\i}sin(\pi} $e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )$

Allora sappiamo che

cos ( π ) = - 1 {\fscx130\fscy130\frx40}- 1 {\fscx130\fscy130\frx40}. $\cos(\pi )=-1$

peccato ( π ) = 0 {\programmazione \sin(\pi )=0} $\sin(\pi )=0$

Pertanto:

e i π = 0 - 1 {\i\i}=0-1} $e^{i\pi }=0-1$
e i π + 1 = 0 {\i\i}+1=0 $e^{i\pi }+1=0$

QED

Domande e risposte

D: Che cos'è l'identità di Eulero?

R: L'identità di Eulero, talvolta chiamata equazione di Eulero, è un'equazione che presenta le costanti matematiche pi greco, il Numero di Eulero e l'unità immaginaria insieme a tre delle operazioni matematiche di base (addizione, moltiplicazione ed esponenziazione). L'equazione è e^(i*pi) + 1 = 0.

D: Chi era Leonard Euler?

R: Leonard Euler era un matematico svizzero da cui prende il nome l'identità. Non è chiaro se l'abbia inventata lui stesso.

D: Quali sono le reazioni all'identità di Eulero?

R: Gli intervistati di un sondaggio di Physics World hanno definito l'identità "la dichiarazione matematica più profonda mai scritta", "inquietante e sublime", "piena di bellezza cosmica" e "strabiliante".

D: Quali sono alcune delle costanti presenti in questa equazione?

R: Le costanti presenti in questa equazione sono il pi greco (circa 3,14159), il Numero di Eulero (circa 2,71828) e un'unità immaginaria (pari a -1).

D: Quali sono alcune delle operazioni presenti in questa equazione?

R: Le operazioni presenti in questa equazione sono l'addizione, la moltiplicazione e l'esponenziazione.

D: Come possiamo esprimere matematicamente il pi greco?

R: Il pi greco può essere espresso matematicamente come π ≈ 3,14159 {displaystyle \pi \approx 3,14159}.

D: Come possiamo esprimere matematicamente il Numero di Eulero? R:Il Numero di Eulero può essere espresso matematicamente come e ≈ 2,71828 {displaystyle e\approx 2,71828}.