Serie di Taylor

Una serie di Taylor è un'idea usata in informatica, calcolo, chimica, fisica e altri tipi di matematica di livello superiore. È una serie che viene usata per creare una stima (ipotesi) di come appare una funzione. C'è anche un tipo speciale di serie di Taylor chiamata serie di Maclaurin.

La teoria dietro la serie di Taylor è che se si sceglie un punto sul piano delle coordinate (assi x e y), allora è possibile indovinare come sarà una funzione nell'area intorno a quel punto. Questo viene fatto prendendo le derivate della funzione e aggiungendole tutte insieme. L'idea è che sia possibile sommare l'infinito numero di derivate e ottenere un'unica somma finita.

In matematica, una serie di Taylor mostra una funzione come somma di una serie infinita. I termini della somma sono presi dalle derivate della funzione. Le serie di Taylor derivano dal teorema di Taylor.

Un'animazione che mostra come una serie di Taylor può essere usata per approssimare una funzione. La linea blu mostra la funzione esponenziale f ( x ) = e x {\displaystyle f(x)=e^{x}} $f(x)=e^{x}$ . Le linee rosse mostrano la somma di n derivate -- cioè n+1 termini della serie di Taylor. Man mano che n diventa più grande, la linea rossa si avvicina alla linea blu.

Storia

Il filosofo greco antico Zenone di Elea ha avuto per primo l'idea di questa serie. Il paradosso chiamato "parodosso di Zenone" il risultato. Egli credeva che sarebbe stato impossibile sommare un numero infinito di valori e ottenere come risultato un unico valore finito.

Un altro filosofo greco, Aristotele, diede una risposta alla domanda filosofica. Fu Archimede, tuttavia, che trovò una soluzione matematica usando il suo metodo di esaurimento. Egli fu in grado di dimostrare che quando qualcosa è diviso in un numero infinito di piccoli pezzi, questi continueranno a sommarsi in un unico insieme quando tutti saranno rimessi insieme. L'antico matematico cinese Liu Hui dimostrò la stessa cosa diverse centinaia di anni dopo.

I primi esempi conosciuti della serie di Taylor sono il lavoro di Mādhava di Sañgamāgrama in India nel 1300. I matematici indiani successivi scrissero del suo lavoro con le funzioni trigonometriche di seno, coseno, tangente e arcotangente. Nessuno degli scritti o dei documenti di Mādhava esiste ancora oggi. Altri matematici basarono il loro lavoro sulle scoperte di Mādhava e lavorarono di più con queste serie fino al 1500.

James Gregory, un matematico scozzese, ha lavorato in questo campo nel 1600. Gregory studiò la serie di Taylor e pubblicò diverse serie di Maclaurin. Nel 1715, Brook Taylor scoprì un metodo generale per applicare la serie a tutte le funzioni. (Tutte le ricerche precedenti mostravano come applicare il metodo solo a funzioni specifiche). Colin Maclaurin pubblicò un caso speciale della serie di Taylor nel 1700. Questa serie, che è basata intorno allo zero, è chiamata la serie di Maclaurin.

Definizione

Una serie di Taylor può essere usata per descrivere qualsiasi funzione ƒ(x) che sia una funzione liscia (o, in termini matematici, "infinitamente differenziabile"). La serie di Taylor viene quindi utilizzata per descrivere l'aspetto della funzione nelle vicinanze di qualche numero a.

Questa serie di Taylor, scritta come una serie di potenza, si presenta così:

f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x - a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x - a ) 2 + f ( 3 ) ( a ) 3 ! ( x - a ) 3 + ⋯ . {\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots . } $f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots .$

Questa formula può anche essere scritta in notazione sigma come:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x - a ) n {displaystyle \sum _{n=0}^{infty }{frac {f^{(n)}(a)}{n!}},(x-a)^{n}} $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}$

Qui n! è il fattoriale di n. ƒ ⁽ⁿ⁾(a) è l'ennesima derivata di ƒ nel punto a. a {displaystyle a} è un numero nel dominio della funzione. Se la serie di Taylor di una funzione è uguale a quella funzione, la funzione è chiamata "funzione analitica".

Serie Maclaurin

Quando a = 0 {displaystyle a=0} $a=0$ la funzione si chiama serie di Maclaurin. La serie di Maclaurin scritta come serie di potenza si presenta come:

f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) 1 ! x + f ″ ( 0 ) 2 ! x 2 + f ( 3 ) ( 0 ) 3 ! x 3 + ⋯ . {\displaystyle f(0)+{{frac {f'(0)}{1!}x+{frac {f''(0)}{2!}x^{2}+{frac {f^{(3)}(0)}{3!}x^{3}+\cdots . } $f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots .$

Se scritta in notazione sigma, la serie di Maclaurin è:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n {displaystyle \sum _{n=0}^{infty }{frac {f^(n)}(0)}{n!}},x^{n}} $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\,x^{n}$

Serie di Taylor comune

Alcune importanti serie di Taylor e Maclaurin sono le seguenti.

sin x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋯ per tutti gli x {displaystyle \sin x=sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}{3!}+{\frac {x^{5}{5!}-\cdots {\testo{ per tutti}x! } $\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ for all }}x\!$

cos x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - ⋯ per tutti gli x {displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}+{\frac {x^{4}{4!}-\cdots {\frac {per tutti gli x}! } $\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ for all }}x\!$

sinh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 per tutti gli x {displaystyle \sinh(x)=\sum _{n=0}^{infty }{frac {1}{(2n+1)!}x^{2n+1}{text{ per tutti gli x}! } $\sinh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}{\text{ for all }}x\!$

cosh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n ) ! x 2 n per tutti gli x {displaystyle \cosh(x)=\sum _{n=0}^{infty }{frac {1}{(2n)!}x^{2n}{text{ per tutti gli x}! } $\cosh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ for all }}x\!$

e x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n = 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + ⋯ per tutti gli x {displaystyle e^{x}=somma _{n=0}^{infty }{frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{frac {1}{2!}x^{2}+{frac {1}{3!}x^{3}+cdots {{testo per tutti}x\! } $e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+\cdots {\text{ for all }}x\!$

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + ⋯ per tutti | x | < 1 {\displaystyle {frac {1}{1}{1-x}}=sum _{n=0}^{infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+{cdots {\text{ per tutti}|x|<1} ${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ for all }}|x|<1$

ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n x n per tutti | x | < 1 {\displaystyle \ln(1+x)=sum _{n=1}^{infty }{frac {(-1)^{n+1}}{n}x^{n} per tutti }|x|<1} $\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}{\text{ for all }}|x|<1$

tan x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( - 4 ) n ( 1 - 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n - 1 = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ per | x | < π 2 {\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{infty }{frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!x^{2n-1}=x+{frac {x^{3}}{3}+{frac {2x^{5}}{15}}+cdots {{text{ for }|x|<{frac {\frac {\pi}{2}}! } $\tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!$

Dove B n {displaystyle B_{n}} $B_{n}$ è l'ennesimo numero di Bernoulli, e ln {displaystyle \ln } $\ln$ è il logaritmo naturale.

Domande e risposte

D: Che cos'è una serie di Taylor?

R: Una serie di Taylor è un'idea utilizzata in informatica, calcolo, chimica, fisica e altri tipi di matematica di livello superiore. Si tratta di una serie che viene utilizzata per creare una stima (ipotesi) dell'aspetto di una funzione.

D: Qual è la differenza tra la serie di Taylor e la serie di Maclaurin?

R: Esiste anche un tipo speciale di serie di Taylor, chiamata serie di Maclaurin.

D: Qual è la teoria alla base della serie di Taylor?

R: La teoria alla base della serie di Taylor è che se si sceglie un punto sul piano delle coordinate (assi x e y), è possibile indovinare l'aspetto di una funzione nell'area intorno a quel punto.

D: Come viene creata la funzione utilizzando la serie di Taylor?

R: Questo avviene prendendo le derivate della funzione e sommandole. L'idea è che sia possibile sommare il numero infinito di derivate e ottenere un'unica somma finita.

D: Cosa indica una serie di Taylor in matematica?

R: In matematica, una serie di Taylor mostra una funzione come somma di una serie infinita. I termini della somma sono presi dalle derivate della funzione.

D: Da dove derivano le serie di Taylor?

R: Le serie di Taylor derivano dal teorema di Taylor.

D: In quali campi è comunemente utilizzata la serie di Taylor?

R: La serie di Taylor è comunemente utilizzata nell'informatica, nel calcolo, nella chimica, nella fisica e in altri tipi di matematica di livello superiore.