Geometria iperbolica

Un'interessante proprietà della geometria iperbolica deriva dalla presenza di più di una linea parallela attraverso un punto P: ci sono due classi di linee non intersecanti. Sia B il punto su l tale che la retta PB sia perpendicolare a l. Si consideri la retta x passante per P tale che x non intersechi l, e che l'angolo θ tra PB e x in senso antiorario da PB sia il più piccolo possibile; cioè, qualsiasi angolo più piccolo costringerà la retta a intersecare l. Questa è chiamata linea asintotica in geometria iperbolica. Simmetricamente, la linea y che forma lo stesso angolo θ tra PB e se stessa ma in senso orario rispetto a PB sarà anch'essa asintotica. x e y sono le uniche due linee asintotiche a l passanti per P. Tutte le altre linee passanti per P che non intersecano l, con angoli maggiori di θ con PB, sono chiamate ultraparallele (o disgiuntamente parallele) a l. Si noti che, poiché esistono un numero infinito di angoli possibili tra θ e 90 gradi, e ognuno di essi determinerà due rette passanti per P e disgiuntamente parallele a l, esiste un numero infinito di rette ultraparallele.

Così abbiamo questa forma modificata del postulato delle parallele: In geometria iperbolica, data una qualsiasi retta l, e un punto P non su l, ci sono esattamente due rette passanti per P che sono asintotiche a l, e infinitamente molte rette passanti per P ultraparallele a l.

Le differenze tra questi tipi di linee possono anche essere guardate nel modo seguente: la distanza tra le linee asintotiche corre a zero in una direzione e cresce senza limiti nell'altra; la distanza tra le linee ultraparallele aumenta in entrambe le direzioni. Il teorema delle ultraparallele afferma che esiste un'unica linea nel piano iperbolico che è perpendicolare a ciascuna di una data coppia di linee ultraparallele.

Nella geometria euclidea, l'angolo di parallelismo è una costante; cioè, qualsiasi distanza ‖ B P ‖ {displaystyle ‖ BP\rVert } tra linee parallele produce un angolo di parallelismo uguale a 90°. In geometria iperbolica, l'angolo di parallelismo varia con la funzione Π ( p ) {displaystyle \Pi (p)}. Questa funzione, descritta da Nikolai Ivanovich Lobachevsky, produce un unico angolo di parallelismo per ogni distanza p = ‖ B P ‖ {displaystyle p=\lVert BP\rVert } . Man mano che la distanza si accorcia, Π ( p ) {displaystyle \Pi (p)} si avvicina a 90°, mentre con l'aumentare della distanza Π ( p ) {displaystyle \Pi (p)} si avvicina a 0°. Così, man mano che le distanze diventano più piccole, il piano iperbolico si comporta sempre più come la geometria euclidea. Infatti, su piccole scale rispetto a 1 - K {displaystyle {frac {1}{sqrt {-K}}}} dove K {displaystyle K! } è la curvatura gaussiana (costante) del piano, un osservatore avrebbe difficoltà a determinare se si trova nel piano euclideo o in quello iperbolico.

Un certo numero di geometri fece dei tentativi per dimostrare il postulato delle parallele, tra cui Omar Khayyám, e più tardi Giovanni Gerolamo Saccheri, John Wallis, Lambert e Legendre. I loro tentativi fallirono, ma i loro sforzi diedero vita alla geometria iperbolica. I teoremi di Alhacen, Khayyam sui quadrilateri, furono i primi teoremi sulla geometria iperbolica. I loro lavori sulla geometria iperbolica hanno avuto un'influenza sul suo sviluppo tra i successivi geometri europei, tra cui Witelo, Alfonso e John Wallis.

Nel XIX secolo, la geometria iperbolica fu esplorata da János Bolyai e Nikolai Ivanovich Lobachevsky, da cui talvolta prende il nome. Lobachevsky pubblicò nel 1830, mentre Bolyai la scoprì indipendentemente e la pubblicò nel 1832. Anche Karl Friedrich Gauss studiò la geometria iperbolica, descrivendo in una lettera del 1824 a Taurinus di averla costruita, ma non pubblicò il suo lavoro. Nel 1868, Eugenio Beltrami fornì dei modelli di essa, e usò questo per dimostrare che la geometria iperbolica era coerente se la geometria euclidea lo era.

Il termine "geometria iperbolica" fu introdotto da Felix Klein nel 1871. Per una maggiore storia, vedi l'articolo sulla geometria non euclidea.

Ci sono tre modelli comunemente usati per la geometria iperbolica: il modello Klein, il modello del disco di Poincaré, e il modello Lorentz, o modello dell'iperboloide. Questi modelli definiscono uno spazio iperbolico reale che soddisfa gli assiomi di una geometria iperbolica. Nonostante la denominazione, i due modelli a disco e il modello a semipiano furono introdotti come modelli di spazio iperbolico da Beltrami, non da Poincaré o Klein.

1. Il modello Klein, noto anche come modello del disco proiettivo e modello Beltrami-Klein, utilizza l'interno di un cerchio per il piano iperbolico, e le corde del cerchio come linee.
2. Il modello del mezzo piano di Poincaré prende una metà del piano euclideo, come determinato da una linea euclidea B, per essere il piano iperbolico (B stesso non è incluso).
• Le linee iperboliche sono allora o semicerchi ortogonali a B o raggi perpendicolari a B.
• Entrambi i modelli di Poincaré conservano gli angoli iperbolici e sono quindi conformali. Tutte le isometrie all'interno di questi modelli sono quindi trasformazioni di Möbius.
• Il modello semipiano è identico (al limite) al modello del disco di Poincaré al bordo del disco
• Questo modello ha un'applicazione diretta alla relatività speciale, poiché lo spazio Minkowski 3 è un modello per lo spaziotempo, sopprimendo una dimensione spaziale. Si può prendere l'iperboloide per rappresentare gli eventi che vari osservatori in movimento, che si irradiano verso l'esterno in un piano spaziale da un singolo punto, raggiungeranno in un tempo proprio fisso. La distanza iperbolica tra due punti sull'iperboloide può quindi essere identificata con la rapidità relativa tra i due osservatori corrispondenti.

M. Le famose stampe di C. Escher Circle Limit III e Circle Limit IV illustrano abbastanza bene il modello del disco conforme. In entrambe si possono vedere le geodetiche. (In III le linee bianche non sono geodetiche, ma ipercicli, che corrono accanto ad esse). È anche possibile vedere abbastanza chiaramente la curvatura negativa del piano iperbolico, attraverso il suo effetto sulla somma degli angoli nei triangoli e nei quadrati.

Nel piano euclideo, i loro angoli sommerebbero a 450°, cioè un cerchio e un quarto. Da questo vediamo che la somma degli angoli di un triangolo nel piano iperbolico deve essere minore di 180°. Un'altra proprietà visibile è la crescita esponenziale. In Circle Limit IV, per esempio, si può vedere che il numero di angeli e demoni entro una distanza di n dal centro aumenta esponenzialmente. I demoni hanno un'area iperbolica uguale, quindi l'area di una sfera di raggio n deve crescere esponenzialmente in n.

Ci sono diversi modi per realizzare fisicamente un piano iperbolico (o una sua approssimazione). Un modello cartaceo particolarmente noto basato sulla pseudosfera è dovuto a William Thurston. L'arte dell'uncinetto è stata usata per dimostrare piani iperbolici, con il primo realizzato da Daina Taimina. Nel 2000, Keith Henderson ha dimostrato un modello di carta veloce da realizzare, soprannominato il "calcio iperbolico".