Analisi matematica

Parti di analisi matematica

Limiti

Un esempio per l'analisi matematica sono i limiti. I limiti sono usati per vedere cosa succede quando le cose sono molto vicine. I limiti possono anche essere usati per vedere cosa succede quando le cose diventano molto grandi. Per esempio, 1 n {displaystyle {frac {1}{n}} non è mai zero, ma man mano che n diventa più grande 1 n {displaystyle {frac {1}{n}} si avvicina a zero. Il limite di 1 n {displaystyle {\frac {1}{n}}} quando n diventa più grande è zero. Di solito si dice: "Il limite di 1 n {displaystyle {\frac {1}{n}}} quando n va all'infinito è zero". Si scrive come lim n → ∞ 1 n = 0 { {displaystyle \lim _{n\ a \infty }{frac {1}{n}}=0} .

La controparte sarebbe 2 × n {2} per 2 volte {n}. . Quando n {displaystyle {n}} diventa più grande, il limite va all'infinito. Si scrive come lim n → ∞ 2 × n = ∞ {displaystyle \lim _{n a \infty }{2}times {n}=\infty }. .

Il teorema fondamentale dell'algebra può essere dimostrato a partire da alcuni risultati di base dell'analisicomplessa. Dice che ogni polinomio f ( x ) {displaystyle f(x)} con coefficienti reali o complessi ha una radice complessa. Una radice è un numero x che dà una soluzione f ( x ) = 0 {displaystyle f(x)=0} . Alcune di queste radici possono essere uguali.

Calcolo differenziale

La funzione f ( x ) = m x + c {displaystyle f(x)={m}{x}+{c}} è una retta. La m {displaystyle {m} mostra la pendenza della funzione e la c {displaystyle {c} mostra la posizione della funzione sull'ordinata. Con due punti sulla retta, è possibile calcolare la pendenza m {displaystyle {m}} con:

m = y 1 - y 0 x 1 - x 0 {displaystyle m={frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}} .

Una funzione della forma f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} che non è lineare, non può essere calcolata come sopra. È possibile calcolare la pendenza solo utilizzando le tangenti e le secanti. La secante passa per due punti e quando i due punti si avvicinano, si trasforma in una tangente.

La nuova formula è m = f ( x 1 ) - f ( x 0 ) x 1 - x 0 {displaystyle m={frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}} .

Questo è chiamato quoziente di differenza. La x 1 {displaystyle x_{1}} si avvicina ora alla x 0 {displaystyle x_{0}} . Questo può essere espresso con la seguente formula:

f ′ ( x ) = lim x → x 0 f ( x ) - f ( x 0 ) x - x 0 {\displaystyle f'(x)=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}} .

Il risultato si chiama derivata o pendenza di f nel punto x {displaystyle {x}} .

Integrazione

L'integrazione riguarda il calcolo delle aree.

Il simbolo ∫ a b f ( x ) d x {displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}

si legge come "l'integrale di f, da a a b" e si riferisce all'area tra l'asse x, il grafico della funzione f, e le linee x=a e x=b. L'a {displaystyle a} è il punto in cui l'area dovrebbe iniziare e il b {displaystyle b} dove l'area finisce.

Pagine correlate

Alcuni argomenti in analisi sono:

• Calcolo
• Analisi complessa
• Analisi funzionale
• Analisi numerica

Alcune idee utili nell'analisi sono:

• Serie
• Sequenze
• Derivati
• Integrali