Equazioni di Maxwell

Equazioni di Maxwell nelle forme classiche

Nome	Forma differenziale	Forma integrale
Legge di Gauss:	∇ ⋅ D = ρ {displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho }	S D ∮ S D ⋅ d A = ∫ V ρ ⋅ d V {\displaystyle \oint _{S}mathbf {D} \cdot d \mathbf {A} = \int _{V}\rho \cdot dV}
Legge di Gauss per il magnetismo (assenza di monopoli magnetici):	∇ ⋅ B = 0 {displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}	S B ∮ S B ⋅ d A = 0 {displaystyle \oint _{S}mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} =0}
La legge di induzione di Faraday:	∇ × E = - ∂ B ∂ t {displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{frac {\mathbf {B} =-raffreddare il t	∮ C E ⋅ d l - ∮ C B × v ⋅ d l = - d d t ∫ S B ⋅ d A {\displaystyle \oint _{C}mathbf {E} un punto _{C}mathbf {\an8}bathbf {\an8}bathbf {\an8}bathbf {\an8}bathbf {\an8}bathbf {\an8} \tempi \mathbf {v} \cdot d{mathbf {l} \d \sopra dt}-int _{S}mathbf {\mathbf {\mathbf {\mathbf} \cdot d\mathbf {A} }
Legge di Ampère (con estensione di Maxwell):	∇ × H = J + ∂ D ∂ t {\displaystyle \nabla \tempi \mathbf {H} = \mathbf {J} +{frac {mathbf {mathbf {D} parziale {\a6}}	∮ C H ⋅ d l = ∫ S J ⋅ d A + ∫ S ∂ D ∂ t ⋅ d A {\displaystyle \oint _{C}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} ={S}mathbf {\mathbf {\mathbf} \cdot d\mathbf {A} +int _{S}{frac {\frac {\mathbf {D} t} {{parziale t} \cdot d\mathbf {A} }

dove la seguente tabella fornisce il significato di ogni simbolo e l'unità di misura SI:

Simbolo	Significato	Unità di misura SI
E E {displaystyle \mathbf {E} }	campo elettrico	volt per metro
H {\displaystyle \mathbf {H} }	intensità del campo magnetico	ampere per metro
D {displaystyle \mathbf {D} }	campo di spostamento elettrico	coulomb per metro quadrato
B {\displaystyle \mathbf {B} }	densità di flusso magnetico chiamata anche induzione magnetica.	tesla, o in modo equivalente, weber per metro quadrato
ρ {displaystyle \rho \sono un po' più grandi di quanto non lo siano gli altri.}	densità di carica elettrica libera, senza contare le cariche di dipolo legate in un materiale.	coulomb per metro cubo
J {\displaystyle \mathbf {J} }	densità di corrente libera, senza contare le correnti di polarizzazione o magnetizzazione legate in un materiale.	ampere per metro quadrato
d A {displaystyle d\mathbf {A} }	elemento vettoriale differenziale della superficie A, con magnitudine molto piccola e direzione normale alla superficie S	metri quadrati
d V {displaystyle dV}	elemento differenziale di volume V racchiuso dalla superficie S	metri cubi
d l {displaystyle d\mathbf {l} }	elemento vettoriale differenziale di lunghezza del percorso tangenziale al contorno C che racchiude la superficie c	metri
v {displaystyle \mathbf {v}	velocità istantanea dell'elemento di linea d l {displaystyle d\mathbf {l} definito sopra (per i circuiti in movimento).	metri al secondo

e

∇ ⋅ {\displaystyle \nabla \cdot } è l'operatore di divergenza (unità SI: 1 per metro),

∇ × {displaystyle \nabla \times } è l'operatore curl (unità SI: 1 per metro).

Il significato delle equazioni

Densità di carica e campo elettrico

∇ ⋅ D = ρ {displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho } ,

dove ρ è la densità di carica elettrica libera (in unità di C/m3), senza contare le cariche di dipolo legate in un materiale, e D è il campo di spostamento elettrico (in unità di C/m2). Questa equazione è come la legge di Coulomb per le cariche non in movimento nel vuoto.

La forma integrale successiva (per il teorema della divergenza), nota anche come legge di Gauss, dice la stessa cosa:

A D ∮ d A = Q racchiuso {displaystyle \oint _{A}mathbf {D} d\mathbf {A} =Q_testo chiuso}}

d A {displaystyle d\mathbf {A} è l'area di un quadrato differenziale sulla superficie chiusa A. La normale alla superficie che punta verso l'esterno è la direzione, e Q racchiuso {displaystyle Q_{{testo{incluso}} è la carica libera che sta dentro la superficie.

In un materiale lineare, D {displaystyle \mathbf {D} è direttamente legato al campo elettrico E con una costante chiamata permittività, ε {displaystyle \varepsilon } (Questa costante è diversa per i diversi materiali):

D = ε E {displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} } .

Si può fingere che un materiale sia lineare, se il campo elettrico non è molto forte.

La permittività dello spazio libero si chiama ε 0 {displaystyle \varepsilon _{0}} ed è usata in questa equazione:

∇ ⋅ E = ρ t ε 0 {displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={frac {rho _{t}}{varepsilon _{0}}}}

Qui E {displaystyle \mathbf {E} è di nuovo il campo elettrico (in unità di V/m), ρ t è la densità di carica totale (comprese le cariche legate), e ε 0 è la permittività dello spazio libero. (circa 8,854 pF/m) è la permittività dello spazio libero. Si può anche scrivere ε {displaystyle \varepsilon } come ε 0 ⋅ ε r \displaystyle \varepsilon _{0} \varepsilon _{r} . Qui, ε r {displaystyle \varepsilon _{r}} è la permittività del materiale rispetto alla permittività dello spazio libero. Questo è chiamato permittività relativa o costante dielettrica.

Vedere anche l'equazione di Poisson.

La struttura del campo magnetico

∇ ⋅ B = 0 {displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}

B {displaystyle \mathbf {B} è la densità di flusso magnetico (in unità di tesla, T), chiamata anche induzione magnetica.

Questa prossima forma integrale dice la stessa cosa:

∮ A B ⋅ d A = 0 {displaystyle \oint _{A}mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} =0}

L'area di d A {displaystyle d\mathbf {A} è l'area di un quadrato differenziale sulla superficie A {displaystyle A} . La direzione di d A {displaystyle d\mathbf {A} è la normale alla superficie che punta verso l'esterno sulla superficie di A {displaystyle A} .

Questa equazione funziona solo se l'integrale è fatto su una superficie chiusa. Questa equazione dice che in ogni volume la somma delle linee di campo magnetico che entrano è uguale alla somma delle linee di campo magnetico che escono. Questo significa che le linee di campo magnetico devono essere anelli chiusi. Un altro modo di dire questo è che le linee di campo non possono partire da qualche parte. Questo è il modo matematico di dire: "Non ci sono monopoli magnetici".

Un flusso magnetico che cambia e il campo elettrico

∇ × E = - ∂ B ∂ t {displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{frac {\mathbf {B} =-raffreddare il t

Questa prossima forma integrale dice la stessa cosa:

∮ s E ⋅ d s = - d Φ B d t {displaystyle \oint _{s}mathbf {E} \cdot d\mathbf {s} =-{frac {d\Phi _{mathbf {B} {{dt}}

Qui Φ B = ∫ A B ⋅ d A {displaystyle \Phi _{mathbf {B} =int _{A{mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} }

Questo è il significato dei simboli:

ΦB è il flusso magnetico che passa attraverso l'area A che la seconda equazione descrive,

E è il campo elettrico che il flusso magnetico provoca,

s è un percorso chiuso in cui la corrente è indotta, per esempio un filo,

v è la velocità istantanea dell'elemento di linea (per i circuiti in movimento).

La forza elettromotrice è uguale al valore di questo integrale. A volte si usa questo simbolo per la forza elettromotrice: E {\displaystyle {\mathcal {E}}. non confonderlo con il simbolo della permittività che è stato usato prima.

Questa legge è come la legge di Faraday dell'induzione elettromagnetica.

Alcuni libri di testo mostrano il segno della mano destra della forma integrale con una N (N è il numero di spire di filo che sono intorno al bordo di A) davanti alla derivata del flusso. La N può essere presa in considerazione nel calcolo di A (più spire di filo significa più superfici per il flusso da attraversare), ed è un dettaglio ingegneristico così è stato lasciato fuori qui.

Il segno negativo è necessario per la conservazione dell'energia. È così importante che ha persino il suo nome, la legge di Lenz.

Questa equazione mostra come i campi elettrici e magnetici hanno a che fare l'uno con l'altro. Per esempio, questa equazione spiega come funzionano i motori elettrici e i generatori elettrici. In un motore o generatore, il circuito di campo ha un campo elettrico fisso che causa un campo magnetico. Questo è chiamato eccitazione fissa. La tensione variabile è misurata attraverso il circuito di armatura. Le equazioni di Maxwell sono usate in un sistema di coordinate destrorso. Per usarle in un sistema mancino, senza dover cambiare le equazioni, la polarità dei campi magnetici deve essere opposta (questo non è sbagliato, ma confonde perché di solito non si fa così).

La fonte del campo magnetico

∇ × H = J + ∂ D ∂ t {\displaystyle \nabla \tempi \mathbf {H} = \mathbf {J} +{frac {mathbf {mathbf {D} parziale {\a6}}

H è l'intensità del campo magnetico (in unità di A/m), che si ottiene dividendo il flusso magnetico B per una costante chiamata permeabilità, μ (B = μH), e J è la densità di corrente, definita da:

J = ∫ρqvdA

v è un campo vettoriale chiamato velocità di deriva. Descrive le velocità dei portatori di carica che hanno una densità descritta dalla funzione scalare ρq.

Nello spazio libero, la permeabilità μ è la permeabilità dello spazio libero, μ0, che è esattamente 4π×10-7 W/A-m, per definizione. Inoltre, la permittività è la permittività dello spazio libero ε0. Quindi, nello spazio libero, l'equazione è:

∇ × B = μ 0 J + μ 0 ε 0 ∂ E ∂ t {\displaystyle \nabla \tempi \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +{mu _{0}{varepsilon _{0}{frac {\parziale \mathbf {E} {\a6}}

La forma integrale successiva dice la stessa cosa:

∮ s B ⋅ d s = μ 0 I circondato + μ 0 ε 0 ∫ A ∂ E ∂ t ⋅ d A {\displaystyle \oint _{s}{mathbf {B} \cdot d\mathbf {s} =\mu _{0}I_{\testo{incircolato}+mu _{0}\varepsilon _{0}int _{A}{frac {\mathbf {\mathbf {E} t}cdot d\mathbf {\mathbf {A} }

s è il bordo della superficie aperta A (qualsiasi superficie con la curva s come bordo va bene qui), e Iencircled è la corrente circondata dalla curva s (la corrente attraverso qualsiasi superficie è definita dall'equazione Ithrough _A = ∫AJ-dA).

Se la densità del flusso elettrico non cambia molto velocemente, il secondo termine sul lato destro (il flusso di spostamento) è molto piccolo e può essere lasciato fuori, e quindi l'equazione è la stessa della legge di Ampere.

Formulazione covariante

Ci sono solo due equazioni di Maxwell covarianti, perché il vettore campo covariante include il campo elettrico e quello magnetico.

Nota matematica: in questa sezione verrà usata la notazione astratta dell'indice.

Nella relatività speciale, le equazioni di Maxwell per il vuoto sono scritte in termini di quattro vettori e tensori nella forma "manifestamente covariante". Questo è stato fatto per mostrare più chiaramente il fatto che le equazioni di Maxwell (nel vuoto) hanno la stessa forma in qualsiasi sistema di coordinate inerziali. Questa è la forma "manifestamente covariante":

J b = ∂ a F a b {displaystyle J^{b}=parziale _{a}F^{ab}, \x22 } ,

e

0 = ∂ c F a b + ∂ b F c a + ∂ a F b c {\displaystyle 0=\parziale _{c}F_{ab}+parziale _{b}F_{ca}+parziale _{a}F_bc}

La seconda equazione è uguale a:

0 = ε d a b c ∂ a F b c {displaystyle 0=\varepsilon _{dabc}parziale ^{a}F^{bc},\\\i} }

Qui J a è la corrente 4, F a b è il tensore di forza del campo (scritto come una matrice 4 × 4), ε a b c d è il simbolo di Levi-Civita, e ∂ a = ( ∂ / ∂ c t , ∇ ) {displaystyle \partial _{a}=(\partial /\partial ct,\nabla )} è il 4-gradiente (così che ∂ a ∂ a {displaystyle \partial _{a}} è l'operatore d'Alembertiano). (L'a nella prima equazione è implicitamente sommato, secondo la notazione di Einstein). La prima equazione del tensore dice la stessa cosa delle due equazioni di Maxwell disomogenee: La legge di Gauss e la legge di Ampere con la correzione di Maxwell. La seconda equazione dice la stessa cosa delle altre due equazioni, le equazioni omogenee: La legge di induzione di Faraday e l'assenza di monopoli magnetici.

J a {\displaystyle \,J^{a}} può anche essere descritto più esplicitamente da questa equazione: J a = ( c ρ , J → ) {displaystyle J^{a} =,(c\rho ,{\vec {J}})} (come vettore controvariante), dove si ottiene J a {\displaystyle \,J^{a}} dalla densità di carica ρ e dalla densità di corrente J → {displaystyle {\vec {J}} . La 4-corrente è una soluzione dell'equazione di continuità:

J a , a = 0 {displaystyle J^{a}{_{,a},=0}

In termini del 4-potenziale (come vettore contravariante) A a = ( ϕ , A → c ) {displaystyle A^{a}==sinistra(\phi ,{vec {A}}c\destra)} dove φ è il potenziale elettrico e A → {displaystyle {\vec {A}}} è il potenziale vettoriale magnetico nello scartamento di Lorentz ( ∂ a A a = 0 ) {displaystyle \left(\partial _{a}A^{a}=0\right)} , F può essere scritto come:

F a b = ∂ b A a - ∂ a A b {displaystyle F^{ab}=parziale ^{b}A^{a}- ∂parziale ^{a}A^{b},∂ }

che porta al tensore di rango 2 della matrice 4 × 4:

F a b = ( 0 - E x c - E y c - E z c E x c 0 - B z B y E y c B z 0 - B x E z c - B y B x 0 ) . F^{ab}=left({begin{matrix}0&-{{frac {E_{x}}{c}&-{frac {E_{y}{c}}&-{frac {E_{z}{c}}{frac {E_{x}{c}}0&-B_{z}&B_{y}\\{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right). }

Il fatto che sia il campo elettrico che quello magnetico siano combinati in un unico tensore mostra il fatto che, secondo la relatività, entrambi sono parti diverse della stessa cosa: cambiando i quadri di riferimento, quello che sembra un campo elettrico in un quadro può sembrare un campo magnetico in un altro quadro, e viceversa.

Usando la forma tensoriale delle equazioni di Maxwell, la prima equazione implica

◻ F a b = 0 {displaystyle \Box F^{ab}=0} (Vedere Quadripotenziale elettromagnetico per la relazione tra il d'Alembertiano del quadripotenziale e la quadricorrente, espressa in termini della vecchia notazione di operatore vettoriale).

Autori diversi a volte usano convenzioni di segno diverso per questi tensori e 4 vettori (ma questo non cambia il loro significato).

F a b {displaystyle \f^{ab}} e F a b {displaystyle \f^{ab}} non sono la stessa cosa: sono legati dal tensore metrico di Minkowski η {displaystyle \eta } : F a b = η a c η b d F c d {displaystyle F_{ab}=\f^,\eta _{ac}\eta _{bd}F^{cd}} . Questo cambia il segno di alcune componenti di F; dualità metriche più complesse possono essere viste nella relatività generale.