Distributività

Autore: Leandro Alegsa

28-02-2021

La distribuzione è un concetto dell'algebra: dice come devono essere gestite le operazioni binarie. Il caso più semplice è quello dell'addizione e della moltiplicazione dei numeri. Per esempio, in aritmetica:

2 ⋅ (1 + 3) = (2 ⋅ 1) + (2 ⋅ 3), ma 2 / (1 + 3) ≠ (2 / 1) + (2 / 3).

Nella parte sinistra della prima equazione, il 2 moltiplica la somma di 1 e 3; nella parte destra, moltiplica l'1 e il 3 individualmente, con i prodotti aggiunti dopo. Poiché questi danno la stessa risposta finale (8), si dice che la moltiplicazione per 2 distribuisce sull'addizione di 1 e 3. Dato che si sarebbe potuto mettere qualsiasi numero reale al posto di 2, 1 e 3, ottenendo comunque un'equazione vera, si dice che la moltiplicazione di numeri reali distribuisce sull'addizione di numeri reali.

Definizione

Dato un insieme $S$ e due operatori binari ∗ e + su $S$ , diciamo che l'operazione

∗ è distributivo a sinistra su + se, dati tutti gli elementi $x, y$ e $z$ di $S$ ,

x ∗ ( y + z ) = ( x ∗ y ) + ( x ∗ z ) , {\displaystyle x*(y+z)=(x*y)+(x*z),} $x*(y+z)=(x*y)+(x*z),$

∗ è destro-distributivo su + se, dati tutti gli elementi $x, y$ e $z$ di $S$ ,

( y + z ) ∗ x = ( y ∗ x ) + ( z ∗ x ) , {\displaystyle (y+z)*x=(y*x)+(z*x),} $(y+z)*x=(y*x)+(z*x),$ e

∗ è distributivo su + se è distributivo a destra e a sinistra. Si noti che quando ∗ è commutativa, le tre condizioni precedenti sono logicamente equivalenti.

Applcations

La proprietà distributiva può essere applicata anche a:

Numeri reali
Numeri complessi
Matrici (si applicano regole speciali)
Vettori (si applicano regole speciali)
Imposta
Logica propositiva

Domande e risposte

D: Cos'è la distribuzione in algebra?

R: La distribuzione è un concetto dell'algebra che descrive come vengono gestite le operazioni binarie come l'addizione e la moltiplicazione.

D: Può fornire un esempio di distribuzione in aritmetica?

R: Sì, un esempio di distribuzione in aritmetica è 2 ⋅ (1 + 3) = (2 ⋅ 1) + (2 ⋅ 3), dove il lato sinistro ha il 2 che moltiplica la somma di 1 e 3, mentre il lato destro ha il 2 che moltiplica l'1 e il 3 individualmente, con i prodotti aggiunti successivamente.

D: Perché il concetto di distribuzione è importante in algebra?

R: Il concetto di distribuzione è importante in algebra perché aiuta a semplificare le equazioni e a renderle più facili da risolvere.

D: La moltiplicazione si distribuisce sull'addizione di tutti i numeri reali?

R: Sì, la moltiplicazione di numeri reali si distribuisce sull'addizione di numeri reali, il che significa che si potrebbe mettere qualsiasi numero reale al posto dei valori nell'equazione utilizzata per l'esempio di distribuzione in aritmetica e ottenere comunque un'equazione vera.

D: L'addizione è distributiva rispetto alla moltiplicazione in tutti i casi?

R: No, l'addizione non è distributiva rispetto alla moltiplicazione in tutti i casi; questo è vero solo per alcuni insiemi di numeri, come i numeri reali.

D: Può fornire un esempio in cui la distribuzione non è vera?

R: Sì, un controesempio in cui la distribuzione non è vera è 2 / (1 + 3) ≠ (2 / 1) + (2 / 3). In questo caso, l'equazione del lato sinistro non è uguale all'equazione del lato destro, perché la divisione non si distribuisce sull'addizione.

D: Come si applica la distribuzione alle operazioni binarie?

R: La distribuzione in algebra si applica specificamente alle operazioni binarie come l'addizione e la moltiplicazione, dove descrive come devono essere eseguite le operazioni quando sono coinvolti più operandi.