Numero di Fibonacci

I numeri di Fibonacci sono una sequenza di numeri in matematica che prende il nome da Leonardo da Pisa, detto Fibonacci. Fibonacci scrisse un libro nel 1202, chiamato Liber Abaci ("Libro del Calcolo"), che introdusse il modello numerico nella matematica dell'Europa occidentale, anche se i matematici in India ne erano già a conoscenza.

Il primo numero del modello è 0, il secondo numero è 1, e ogni numero successivo è uguale alla somma dei due numeri che lo precedono. Per esempio 0+1=1 e 3+5=8. Questa sequenza continua all'infinito.

Questo può essere scritto come una relazione di ricorrenza,

F n = F n - 1 + F n - 2 {\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}}F n = F n - 1 + F n - 2 {\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}

Affinché ciò abbia senso, è necessario fornire almeno due punti di partenza. Qui, F 0 = 0 {\displaystyle F_{0}=0} {\displaystyle F_{0}=0}e F 1 = 1 {\displaystyle F_{1}=1}{\displaystyle F_{1}=1} .

Una spirale di Fibonacci creata tracciando una linea attraverso i quadrati delle piastrelle di Fibonacci; questa utilizza quadrati di dimensioni 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 e 34; vedi Spirale d'oro
Una spirale di Fibonacci creata tracciando una linea attraverso i quadrati delle piastrelle di Fibonacci; questa utilizza quadrati di dimensioni 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 e 34; vedi Spirale d'oro

I numeri di Fibonacci in natura

I numeri di Fibonacci sono legati al rapporto aureo, che si manifesta in molti luoghi negli edifici e nella natura. Alcuni esempi sono il disegno delle foglie su uno stelo, le parti di un ananas, la fioritura del carciofo, lo srotolamento di una felce e la disposizione di una pigna. I numeri di Fibonacci si trovano anche nell'albero genealogico delle api da miele.

Testa di girasole che mostra i fiori a spirale di 34 e 55 intorno all'esterno
Testa di girasole che mostra i fiori a spirale di 34 e 55 intorno all'esterno

Formula di Binet

L'ennesimo numero di Fibonacci può essere scritto in termini di rapporto aureo. Questo evita di dover usare la ricorsione per calcolare i numeri di Fibonacci, cosa che può richiedere molto tempo ad un computer.

F n = φ n - ( 1 - φ ) n 5 {\fscx130\fscy130\frx40}={{frac {\fscx130\fscy130\frx40}-(1-\fscx130\fscy130\frx40}(1-\fscy130\frx40}-(1-\fscy130\frx40}) {\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}}

Dove φ = 1 + 5 2 {\fscx130\fscy130\fscy130\frx40}{\fscx130\fscy130\frx40}}Dove φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}il rapporto aureo.



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