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Equazione di Schrödinger

Autore: Leandro Alegsa

20-12-2020

L'equazione di Schrödinger è un'equazione differenziale (un tipo di equazione che coinvolge una funzione sconosciuta piuttosto che un numero sconosciuto) che costituisce la base della meccanica quantistica, una delle teorie più accurate su come si comportano le particelle subatomiche. È un'equazione matematica che è stata pensata da Erwin Schrödinger nel 1925. Essa definisce una funzione d'onda di una particella o di un sistema (gruppo di particelle) che ha un certo valore in ogni punto dello spazio per ogni dato tempo. Questi valori non hanno alcun significato fisico (in realtà sono matematicamente complessi), eppure la funzione d'onda contiene tutte le informazioni che possono essere conosciute su una particella o un sistema. Queste informazioni possono essere trovate manipolando matematicamente la funzione d'onda per restituire valori reali relativi a proprietà fisiche come posizione, quantità di moto, energia, ecc. La funzione d'onda può essere pensata come un'immagine di come questa particella o sistema agisce nel tempo e la descrive nel modo più completo possibile.

La funzione d'onda può essere in diversi stati contemporaneamente, e quindi una particella può avere molte posizioni, energie, velocità o altre proprietà fisiche diverse allo stesso tempo (cioè "essere in due posti contemporaneamente"). Tuttavia, quando una di queste proprietà viene misurata ha un solo valore specifico (che non può essere previsto con certezza), e la funzione d'onda è quindi in un solo stato specifico. Questo è chiamato collasso della funzione d'onda e sembra essere causato dall'atto dell'osservazione o della misurazione. L'esatta causa e l'interpretazione del collasso della funzione d'onda è ancora ampiamente dibattuta nella comunità scientifica.

Per una particella che si muove in una sola direzione nello spazio, sembra l'equazione di Schrödinger:

- ℏ 2 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 Ψ ( x , t ) + V ( x ) Ψ ( x , t ) = i ℏ ∂ ∂ ∂ t Ψ ( x , t ) stile di visualizzazione - barra di frac ^^2m - barra di frac ^2m - barra di frac ^2m - barra di frac ^2m - barra di frac ^2m - barra di frac ^2m - barra di frac ^2m - barra di frac ^2m - barra di frac ^2m - barra di frac ^2m - barra di frac ^2m - barra di frac ^2m - barra di frac ^2m - barra di frac ^2m - barra di frac ^2m - barra di frac ^2m - barra di frac ^2m - barra di frac ^2m - barra di frac ^2m - barra di frac ^2m $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,\,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,\,t)$

dove i {\i} $i$ è la radice quadrata di -1, ℏ {\i} $\hbar$ è la costante ridotta di Planck, t {\i} è il tempo, x {\i} $t$ è una posizione, Ψ ( x , t ) {\an8} ( x , t ) {\an8} $\Psi (x,\,t)$ è la funzione d'onda, e V ( x ) {\an8} ( x ) {\an8} $V(x)$ è l'energia potenziale, una funzione di posizione non ancora scelta. Il lato sinistro è equivalente all'operatore energetico hamiltoniano che agisce su Ψ {\i} {\i\i} $\Psi$ .

Busto di Erwin Schrödinger, presso l'Università di Vienna. Mostra anche un'equazione di Schrödinger.

Versione indipendente dal tempo

Supponendo che la funzione d'onda, Ψ ( x , t ) {\an8} ( x , t ) {\an8} ( x,t ) $\Psi (x,t)$ , è separabile, cioè assumendo che la funzione di due variabili possa essere scritta come il prodotto di due diverse funzioni di una singola variabile:

Ψ ( x , t ) = ψ ( x ) T ( t ) {\an8} {\an8} (x,t)= \psi (x)T(t)} (x,t)} (x,t)} (x,t)} (x,t)} (x,t)} (x,t) $\Psi (x,t)=\psi (x)T(t)$

poi, utilizzando le tecniche matematiche standard delle equazioni differenziali parziali, si può dimostrare che l'equazione d'onda può essere riscritta come due equazioni differenziali distinte

i ℏ d T ( t ) d t t = E T ( t ) {\a6}Iℏ $i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\,T(t)$

- ℏ 2 2 2 m d 2 ψ ( x ) d x 2 + V ( x ) ψ ( x ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) {\a6}{\a6}{2m}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}}+V(x)\a6}+V(x)\a6}+V(x)\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6} $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\,\psi (x)$

dove la prima equazione dipende esclusivamente dal tempo T ( t ) {\an8}{{\an8} $T(t)$ e la seconda equazione dipende solo dalla posizione ψ ( x ) {\an8} (x) $\psi (x)$ , e dove E {\fscx130\fscy130\frx40}... $E$ è solo un numero. La prima equazione può essere risolta immediatamente per dare

T ( t ) = e - i E t ℏ {\displaystyle T(t)=e^{-i{frac {Et} }}}} $T(t)=e^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}$

dove e $e$ ' il numero di Eulero. Le soluzioni della seconda equazione dipendono dalla funzione energetica potenziale, V ( x ) {\an8}. $V(x)$ e quindi non può essere risolto fino a quando non viene data questa funzione. Si può dimostrare, usando la meccanica quantistica, che il numero E {\displaystyle E} $E$ è in realtà l'energia del sistema, quindi queste funzioni d'onda separabili descrivono sistemi ad energia costante. Poiché l'energia è costante in molti importanti sistemi fisici (per esempio: un elettrone in un atomo), si usa spesso la seconda equazione dell'insieme delle equazioni differenziali separate presentate sopra. Questa equazione è conosciuta come l'equazione di Schrödinger indipendente dal tempo, in quanto non comporta t {\displaystyle t} $t$ .

Interpretazioni della funzione Onda

Nato Interpretazione

Ci sono molte interpretazioni filosofiche della funzione d'onda, e alcune delle idee principali saranno prese in considerazione in questa sede. L'idea principale, chiamata l'interpretazione di probabilità di Born (dal nome del fisico Max Born) deriva dalla semplice idea che la funzione d'onda è integrabile al quadrato; cioè

∫ - ∞ ∞ | Ψ ( x , t ) | 2 d x < ∞ {\a6} {\a6} {\a6}{- }infty }^{{\a6}Psi (x,t)||^{2}dx<\a6}infty }} $\int _{-\infty }^{\infty }\!|\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty$

Questa formula piuttosto semplice ha grandi implicazioni fisiche. Nasce l'ipotesi che l'integrale di cui sopra determini che la particella esista da qualche parte nello spazio. Ma come possiamo trovarla? Usiamo l'integrale

∫ b a Ψ ( x , t ) d x = P ( b < x < a ) {\an8}{b}^^{a}}{psi (x,t)dx=P(b<x<a)}{psi (x,t)dx=P(b<x<a)}{psi (x,t)dx=P(b<x<a) $\int _{b}^{a}\!\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)$

dove P ( b < x < a ) è la $P(b<x<a)$ probabilità di trovare la particella nella regione da b $b$ b<x<a)} ad a . In altre parole, tutto ciò che si può conoscere in anticipo su una particella in generale sono le probabilità, le medie e altre grandezze statistiche associate alle sue grandezze fisiche (posizione, quantità di moto, ecc.). In sostanza, questa è l'interpretazione di Born.

Interpretazione di Copenhagen

Si può fare un'estensione di queste idee. Poiché l'interpretazione di Born dice che la particella di posizione reale non può essere conosciuta, possiamo dedurre quanto segue. Se Ψ 1 , Ψ 2 , Ψ 3 , ... Ψ n {\a6},\a6},\Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\punti \Psi _{n} $\Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\dots \Psi _{n}$ sono soluzioni all'equazione d'onda, allora la sovrapposizione di queste soluzioni, cioè

Ψ s = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 + c 3 Ψ 3 + ⋯ + Ψ + c n Ψ n {\\an8}{s}=c_{1}}+c_{2}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\punti +c_{n}\Psi _{n}}} $\Psi _{s}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\dots +c_{n}\Psi _{n}$

è anche una soluzione. Ciò implica, quindi, che la particella esiste in ogni posizione possibile. Quando un osservatore arriva e misura la posizione della particella, allora la sovrapposizione si riduce ad un'unica possibile funzione d'onda. (i.e., Ψ s {\a6}}(i.m.) $\Psi _{s}$ → Ψ n \displaystyle \Psi _{n} $\Psi _{n}$ , dove Ψ n \displaystyle \Psi _{n} $\Psi _{n}$ è uno dei possibili stati di funzione d'onda). Questa idea che la posizione di una particella non può essere conosciuta con esattezza, e che una particella esiste in più posizioni contemporaneamente dà origine al principio di Incertezza. La formulazione matematica di questo principio può essere data da

Δ x Δ p > ℏ 2 ^displaystyle ^Delta x ^Delta p>frac ^frac ^hbar ^2 Δ x Δ p $\Delta x\Delta p>{\frac {\hbar }{2}}$

Dove Δ x \displaystyle \Delta x} $\Delta x$ è l'incertezza in posizione, e Δ p \displaystyle \Delta p} $\Delta p$ è l'incertezza in quantità di moto. Questo principio può essere derivato matematicamente dalle trasformazioni di Fourier tra quantità di moto e posizione definite dalla meccanica quantistica, ma non lo deriveremo in questo articolo.

Altre Interpretazioni

Ci sono varie altre interpretazioni, come l'interpretazione dei molti mondi e il determinismo quantistico.

Domande e risposte

D: Che cos'è l'equazione di Schrödinger?

R: L'equazione di Schrödinger è un'equazione differenziale che costituisce la base della meccanica quantistica e fu ideata da Erwin Schrödinger nel 1925. Definisce una funzione d'onda di una particella o di un sistema che ha un certo valore in ogni punto dello spazio per ogni dato tempo.

D: Quali informazioni si possono trovare manipolando la funzione d'onda?

R: Manipolando matematicamente la funzione d'onda, si possono trovare valori reali relativi a proprietà fisiche come la posizione, la quantità di moto, l'energia, ecc.

D: Cosa significa che una particella può avere molte posizioni, energie, velocità o altre proprietà fisiche diverse allo stesso tempo?

R: Significa che la funzione d'onda può trovarsi in un certo numero di stati diversi contemporaneamente e quindi una particella può avere molte posizioni, energie, velocità o altre proprietà fisiche diverse allo stesso tempo (cioè "essere in due posti contemporaneamente").

D: Che cos'è il collasso della funzione d'onda?

R: Il collasso della funzione d'onda si verifica quando una di queste proprietà viene misurata e ha un solo valore specifico (che non può essere previsto con certezza), e la funzione d'onda si trova quindi in un solo stato specifico. Questo sembra essere causato dall'atto di osservazione o misurazione.

D: Quali sono alcuni componenti dell'equazione di Schrödinger?

R: I componenti dell'equazione di Schrödinger includono i che è uguale alla radice quadrata -1; ℏ che rappresenta la costante di Planck ridotta; t che rappresenta il tempo; x che rappresenta la posizione; Ψ (x , t) che rappresenta la funzione d'onda; e V(x) che rappresenta l'energia potenziale come funzione non ancora scelta della posizione.

D: Come interpretiamo il collasso della funzione d'onda?

R: La causa esatta e l'interpretazione del collasso della funzione d'onda sono ancora ampiamente dibattute nella comunità scientifica.