Costante di Planck

Background

Simboli utilizzati in questo articolo.
Simbolo Significato E Energia h Costante di Planck k Costante di Boltzmann c velocità della luce λ lunghezza d'onda della radiazione ν frequenza di radiazione T temperatura assoluta

Tra il 1670 e il 1900 gli scienziati hanno discusso la natura della luce. Alcuni scienziati credevano che la luce fosse composta da molti milioni di minuscole particelle. Altri scienziati credevano che la luce fosse un'onda.

Luce: onde o particelle?

Nel 1678, Christiaan Huygens scrisse il libro Traité de la lumiere ("Trattato della luce"). Egli credeva che la luce fosse fatta di onde. Diceva che la luce non poteva essere fatta di particelle perché la luce di due raggi non rimbalzava l'uno sull'altro. Nel 1672, Isaac Newton scrisse il libro Opticks. Credeva che la luce fosse fatta di particelle rosse, gialle e blu che chiamava corpuscoli. Newton lo spiegò con il suo "esperimento dei due prismi". Il primo prisma spezzò la luce in diversi colori. Il secondo prisma fuse di nuovo questi colori in luce bianca.

Nel corso del XVIII secolo, la teoria di Newton ha ricevuto la massima attenzione. Nel 1803, Thomas Young descrisse l'"esperimento della doppia fenditura". In questo esperimento, la luce che attraversa due strette fessure interferisce con se stessa. Ciò provoca uno schema che mostra che la luce è costituita da onde. Per il resto del XIX secolo, la teoria delle onde della luce ha ricevuto la maggiore attenzione. Negli anni sessanta del XIX secolo, James Clerk Maxwell sviluppò delle equazioni che descrivevano la radiazione elettromagnetica come onde.

La teoria della radiazione elettromagnetica tratta la luce, le onde radio, le microonde e molti altri tipi di onde come la stessa cosa, tranne che per il fatto che hanno lunghezze d'onda diverse. La lunghezza d'onda della luce che possiamo vedere con i nostri occhi è approssimativamente tra 400 e 600 nm. La lunghezza d'onda delle onde radio varia da 10 m a 1500 m e la lunghezza d'onda delle microonde è di circa 2 cm. Nel vuoto, tutte le onde elettromagnetiche viaggiano alla velocità della luce. La frequenza dell'onda elettromagnetica è data da:

ν = c λ {\fscx130\fscy130\frx40}- C λ {\fscx130\fscy130\frx40}...stile di visualizzazione \fscy130\frx40}...c λ... .

I simboli sono definiti qui.

Radiatori a corpo nero

Tutte le cose calde emettono radiazioni termiche, che sono radiazioni elettromagnetiche. Per la maggior parte delle cose sulla Terra questa radiazione è nel campo degli infrarossi, ma qualcosa di molto caldo (1000 °C o più), emette radiazioni visibili, cioè la luce. Alla fine del 1800 molti scienziati hanno studiato le lunghezze d'onda delle radiazioni elettromagnetiche dei radiatori a corpo nero a diverse temperature.

Legge Rayleigh-Jeans

Lord Rayleigh pubblicò per la prima volta le basi della legge Rayleigh-Jeans nel 1900. La teoria si basava sulla teoria cinetica dei gas. Sir James Jeans pubblicò una teoria più completa nel 1905. La legge mette in relazione la quantità e la lunghezza d'onda dell'energia elettromagnetica emessa da un radiatore del corpo nero a diverse temperature. L'equazione che descrive questo è:

B λ ( T ) = 2 c k T λ 4 {\fscx130\fscy130\frx40}(T)={\frac {2ckT}{\fscx130\fscy130\frx40}{\fscy130\frx40}{{4}}}} .

Per le radiazioni a lunga lunghezza d'onda, i risultati previsti da questa equazione corrispondevano bene ai risultati pratici ottenuti in laboratorio. Tuttavia, per le lunghezze d'onda corte (luce ultravioletta) la differenza tra teoria e pratica era così grande che si è guadagnato il soprannome di "catastrofe ultravioletta".

Legge di Planck

nel 1895 Wien pubblicò i risultati dei suoi studi sulle radiazioni di un corpo nero. La sua formula era:

B λ ( T ) = 2 h c 2 λ 5 e - h c λ k T {\a6}(T)={\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6} .

Questa formula ha funzionato bene per le radiazioni elettromagnetiche a breve lunghezza d'onda, ma non ha funzionato bene con le lunghezze d'onda lunghe.

Nel 1900 Max Planck pubblicò i risultati dei suoi studi. Egli cercò di sviluppare un'espressione per la radiazione del corpo nero espressa in termini di lunghezza d'onda ipotizzando che la radiazione fosse costituita da piccoli quanti e poi per vedere cosa succedeva se i quanti erano resi infinitamente piccoli. (Questo è un approccio matematico standard). L'espressione era:

 .

Se si lascia che la lunghezza d'onda della luce diventi molto grande, allora si può dimostrare che le relazioni Raleigh-Jeans e Planck sono quasi identiche.

Ha calcolato h e k e ha scoperto che

h = 6,55×10-27 erg-sec.

k = 1,34×10-16 erg-deg-1.

I valori sono vicini ai valori accettati ai giorni nostri di 6,62606×10-34 e 1,38065×10-16 rispettivamente. La legge di Planck è d'accordo con i dati sperimentali, ma il suo pieno significato è stato apprezzato solo diversi anni dopo.

Teoria quantistica della luce

Si scopre che gli elettroni sono sloggiati dall'effetto fotoelettrico se la luce raggiunge una frequenza di soglia. Al di sotto di questa non possono essere emessi elettroni dal metallo. Nel 1905 Albert Einstein pubblicò un articolo che spiegava l'effetto. Einstein propose che un fascio di luce non è un'onda che si propaga nello spazio, ma piuttosto un insieme di pacchetti di onde discrete (fotoni), ciascuno con energia. Einstein disse che l'effetto era dovuto ad un fotone che colpisce un elettrone. Questo dimostrava la natura particellare della luce.

Einstein ha anche scoperto che la radiazione elettromagnetica con una lunghezza d'onda lunga non ha avuto alcun effetto. Einstein disse che ciò era dovuto al fatto che le "particelle" non avevano abbastanza energia per disturbare gli elettroni.

Plank ha suggerito che l'energia di ogni fotone era correlata alla frequenza del fotone dalla costante di Planck. Questo potrebbe essere scritto matematicamente come:

E = h ν = h c λ {\fscx130\fscy130\frx40}E = h ν = h c λ {\fscx130\fscy130\frx40}E = h ν = h c λ .

Plank ricevette il premio Nobel nel 1918 come riconoscimento per i servizi resi al progresso della Fisica grazie alla sua scoperta dei quanti di energia. Nel 1921 Einstein ricevette il premio Nobel per aver collegato la costante di Planck all'effetto fotoelettrico.

Illustrazione tratta dalla lettera originale di Newton alla Royal Society (1° gennaio 1671 [calendario giuliano]). La S rappresenta la luce del sole. La luce tra i piani a.C. e DE è a colori. Questi colori sono ricombinati per formare la luce del sole sul piano GH


L'esperimento della doppia fenditura di Young


La curva di Rayleigh-Jeans e la curva di Planck tracciate contro la lunghezza d'onda dei fotoni.


Conferenza di Solway 1911. Planck, Einstein e Jeans sono in piedi. Planck è il secondo da sinistra. Einstein è secondo da destra. Jeans è quinto da destra. Wien è seduto, terzo da destra.

Applicazione

La costante di Planck è importante in molte applicazioni. Alcune sono elencate di seguito.

Modello di Bohr dell'atomo

Nel 1913 Niels Bohr pubblicò il modello Bohr della struttura di un atomo. Bohr disse che il momento angolare degli elettroni che girano intorno al nucleo può avere solo certi valori. Questi valori sono dati dall'equazione

L = n h 2 π {\an8}L = n h 2 π L=n{\an8}frac {h}{2\an8}pi π

dove

L = momento angolare associato ad un livello.

n = intero positivo.

h = costante di Planck.

Il modello di Bohr dell'atomo può essere utilizzato per calcolare l'energia degli elettroni ad ogni livello. Gli elettroni normalmente riempiono gli stati numerati più bassi di un atomo. Se l'atomo riceve energia, per esempio, da una corrente elettrica, gli elettroni saranno eccitati in uno stato superiore. Gli elettroni torneranno poi ad uno stato inferiore e perderanno la loro energia extra emettendo un fotone. Poiché i livelli di energia hanno valori specifici, i fotoni avranno livelli di energia specifici. La luce emessa in questo modo può essere divisa in diversi colori usando un prisma. Ogni elemento ha un proprio modello. Il modello per il neon è mostrato a fianco.

Il principio di indeterminazione di Heisenberg

Nel 1927 Werner Heisenberg pubblicò il principio dell'incertezza. Il principio afferma che non è possibile effettuare una misurazione senza disturbare l'oggetto da misurare. Esso pone anche un limite al minimo disturbo causato dall'effettuare una misurazione.

Nel mondo macroscopico questi disturbi fanno ben poca differenza. Per esempio, se si misura la temperatura di un pallone di liquido, il termometro assorbe una piccola quantità di energia mentre si riscalda. Questo causerà un piccolo errore nella lettura finale, ma questo errore è piccolo e non importante.

Nella meccanica quantistica le cose sono diverse. Alcune misurazioni vengono effettuate osservando lo schema dei fotoni sparsi. Un esempio è lo scattering di Compton. Se si misura sia la posizione che la quantità di moto di una particella, il principio di incertezza afferma che c'è un compromesso tra la precisione con cui si misura la quantità di moto e la precisione con cui si misura la posizione. L'equazione che descrive questo trade-off è:

Δ x Δ p ≳ h {\fscx130\fscy130\frx40}Delta x \,\Delta p \gtrsim h\fscx130\fscy130\frx40}qquad \fscy130\frx40}qquad \qquad

dove

Δp = incertezza nella quantità di moto.

Δx = incertezza in posizione.

h = costante di Planck.

Colore dei diodi emettitori di luce

Nel circuito elettrico mostrato a destra, la caduta di tensione attraverso il diodo emettitore di luce (LED) dipende dal materiale del LED. Per i diodi al silicio la caduta di tensione è di 0,6 V. Per i LED è invece compresa tra 1,8 V e 2,7 V. Questa informazione permette all'utente di calcolare la costante di Planck.

L'energia necessaria ad un elettrone per saltare la barriera di potenziale nel materiale LED è data da

E = Q e V L {\a6}Stile di visualizzazione E=Q_{e}V_{L},}

dove

Qe è la carica di un elettrone.

VL è la caduta di tensione attraverso il LED.

Quando l'elettrone decade di nuovo, emette un fotone di luce. L'energia del fotone è data dalla stessa equazione usata nell'effetto fotoelettrico. Se queste equazioni sono combinate, la lunghezza d'onda della luce e la tensione sono correlate da

λ = h c V L L Q e \displaystyle \displaystyle \lambda = frac {hc}{V_{L}Q_{e},}

La tabella seguente può essere calcolata a partire da questa relazione.

Colore	Lunghezza d'onda (nm)	Tensione
luce rossa	650	1.89
luce verde	550	2.25
luce blu	470	2.62

Il modello dell'atomo di Bohr. Un elettrone che cade dal guscio n=3 al guscio n=2 perde energia. Questa energia viene portata via come un singolo fotone.


Spettro visibile di Neon. Ogni linea rappresenta una diversa coppia di livelli di energia.


Semplice circuito LED che illustra l'uso della costante di Planck. Il colore della luce emessa dipende dalla caduta di tensione attraverso il diodo. La lunghezza d'onda della luce può essere calcolata utilizzando la costante di Planck.

Valore della costante di Planck e ridefinizione del chilogrammo

Dalla sua scoperta, le misurazioni di h sono diventate molto migliori. Planck ha citato per la prima volta il valore di h a 6,55×10-27 erg-sec. Questo valore è entro il 5% del valore attuale.

Al 3 marzo 2014, le migliori misurazioni di h in unità SI sono 6,62606957×10-34 J-s. La cifra equivalente in unità cgs è 6,62606957×10-27 erg-sec. L'incertezza relativa di h è 4,4×10-8.

La costante di Planck ridotta (ħ) è un valore che viene talvolta utilizzato nella meccanica quantistica. È definita da

ℏ = h 2 π \displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi \an8}} .

Le unità Planck sono talvolta utilizzate in meccanica quantistica al posto del SI. In questo sistema la costante di Planck ridotta ha un valore di 1, quindi il valore della costante di Planck è 2π.

La costante di Plancks può ora essere misurata con altissima precisione. Ciò ha indotto il BIPM a prendere in considerazione una nuova definizione per il chilogrammo. Il prototipo internazionale del chilogrammo non viene più utilizzato per definire il chilogrammo. Il BIPM definisce invece la costante di Planck per avere un valore esatto. Gli scienziati usano questo valore e le definizioni del metro e del secondo per definire il chilogrammo.

 

Valore della costante teorica di Planck

La costante di Planck può anche essere derivata matematicamente:

 

h = μ 0 π 12 c 3 [ q 0 [ 0,9163 a 0 ] 2 ] 2 f 1 r 5 ⋅ s = 6,63 × 10 - 34 J ⋅ s {\an8}{\an8}displaystyle h={\an8}mu _{0}}pi }{12c^{3}}}{[{q_{0}}}{[0,9163a_{0}]}^{2}]^{2}}}{f_{1r}}^{5}\an8}cdot {s}=6,63 volte 10^{-34}J\cdot s

Qui, μ 0 {\i} è la permeabilità dello spazio libero, c {\i} è la velocità della luce, q 0 {\i} è la carica elettrica dell'elettrone, a 0 {\i} è il raggio di Bohr, e f 1 r {\i} è la frequenza di rivoluzione dell'elettrone in un atomo di idrogeno ( f 1 r = 3.29 × 10 15 r e v / s ) {\a6} {\a6}(f_{1r}=3,29 }volte 10^{15}giro/s)} . Quando questi valori della costante vengono sostituiti alla costante teorica di Planck, il valore teorico della costante di Planck è esattamente uguale al valore sperimentale.

Pagine correlate

• Dualità delle particelle dell'onda